Dimostrazione teorema fondamentale dell'aritmetica

[Giso1]

A lezione abbiamo dimostrato il teorema fondamentale dell'algebra attraverso l'uso della seconda forma del principio di induzione. Il professore ci ha invitato a risolverlo usando la terza forma (il principio del minimo); vorrei un aiuto perché non riesco a capire come dal fatto che esista un elemento minimo in un insieme non vuoto (nel caso, quello i cui elementi soddisfano la proprietà di "essere scrivibili come prodotto di fattori primi") si possa passare ad una generalizzazione così ampia per l'insieme dei numeri naturali.

Grazie, ciao! [xdom="Martino"]Sostituito "algebra" con "aritmetica" nel titolo.[/xdom]

[Kashaman]

Th : Sia $n>1$ allora esistono per qualche intero positivo $s$, esistono $p_1,p_2,....,p_s$ primi positivi tali che
$n=\prod_(i=0)^sp_i$ (1)
Inoltre s e $p_i$ sono univocamente determinati.

Questo , in poche parole, è il nostro teorema .
La dimostrazione, consta in realtà di due sotto-dimostrazioni. Una circa l'esistenza, l'altra l'unicità. La dimostrazione che conosco io usa l'induzione per provare l'unicità, mentre il principio del minimo per l'esistenza.
Proviamo l'esistenza.
Supponiamo per assurdo che esistano interi positivi tali che non valga (1).
E consideriamo l'insieme $X$ di tali numeri. Ovviamente $XsubeNN$ ed in quanto tale $EE m in X | m=minX$(2) per il principio del minimo.
Poiché non vale la 1) , m si scrive allora come prodotto di fattori riducibili (o equivalentemente non primi)
supponiamo che $m=a*b$ ove $a,b$ interi riducibili.
Si verifica facilmente che $m/a=b Ciò prova che ogni numero può essere scritto come la (1).

Era questa che cercavi? circa l'unicità tralascio.