Dimostrazione teorema divisione euclidea polinomi

[Lucia015]

Buonasera,

trovo difficoltà nel dimostrare tale teorema, specialmente provare che il grado del resto $r(x)$ è strettamente minore del grado del divisore $b(x)$. Mi aiutereste?

"Euclide (o chi per lui)":Dati due polinomi $a(x)$, $b(x) in K[x]$, con $b(x) \ne 0 \Rightarrow \exists!$ $q(x)$ e $r(x)$ tali che:

$a(x) = q(x)b(x) + r(x)$

Inizio la dimostrazione considerando un insieme $A = {a(x) - q(x)b(x) | b(x) \ne 0}$:

[*:10uc2bet]se $a(x) - q(x)b(x) = 0 \Rightarrow r(x)=0$[/*:m:10uc2bet]
[*:10uc2bet]se $a(x) - q(x)b(x) \ne 0 \Rightarrow a(x) - q(x)b(x) = r(x)$[/*:m:10uc2bet][/list:u:10uc2bet]

Poiché l'insieme $D$ dei gradi dei polinomi di $A$ è contenuto in $\mathbb{N}$, per il principio del buon ordinamento è ammesso un grado minimo $d >= 0$. Quindi posso dire che:

$deg(r(x)) >= 0$

Inoltre, se per assurdo si considerasse $deg(r(x)) > deg(b(x))$ si cadrebbe in contraddizione, poiché se $deg(r(x)) = d$ allora $deg(b(x)) < d$ che è assurdo, essendo $d$ il minimo.

Come faccio a dimostrare che $deg(r(x)) \ne deg(b(x))$?

Grazie in anticipo!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se $r(x)$ e $b(x)$ avessero lo stesso grado, diciamo $m$, esisterebbe $c in K$ tale che $r(x)-cb(x)$ ha grado minore di $m$ (perché?), da qui riesci a concludere?

[Lucia015]

Grazie!

Ok, in effetti r(x) e b(x) si possono annullare