Dimostrazione sulle radici di un polinomio
Ciao a tutti, voglio dimostrare la proposizione seguente (ammesso che sia vera, ma sono abbastanza sicuro di sì):
Proposizione: Sia $ p \in \mathbb{R}[x]_n $. Se $ \alpha \in \mathbb{C} $ è radice di $ p(x) $, allora $ -\alpha $ è radice di $ p (-x) $ e viceversa.
L'unica cosa che mi viene in mente è procedere per induzione su $ n $, osservando che il caso $ n = 1 $ è banale; poi però non so più come proseguire.
Chi mi sa aiutare?
Proposizione: Sia $ p \in \mathbb{R}[x]_n $. Se $ \alpha \in \mathbb{C} $ è radice di $ p(x) $, allora $ -\alpha $ è radice di $ p (-x) $ e viceversa.
L'unica cosa che mi viene in mente è procedere per induzione su $ n $, osservando che il caso $ n = 1 $ è banale; poi però non so più come proseguire.
Chi mi sa aiutare?
Risposte
Ruffini non è tuo amico?
Se $p(x)$ ha come radice $\alpha$, allora $p(x)=(x-alpha)q(x)$ per un certo polinomio $q(x)$. Allora
\[
p(-x)=(-x-\alpha)q(-x)
\]
e quindi $-alpha$ è radice di $p(-x)$. Ti convince?
P.S. Intanto, sposto in Algebra.
Se $p(x)$ ha come radice $\alpha$, allora $p(x)=(x-alpha)q(x)$ per un certo polinomio $q(x)$. Allora
\[
p(-x)=(-x-\alpha)q(-x)
\]
e quindi $-alpha$ è radice di $p(-x)$. Ti convince?
P.S. Intanto, sposto in Algebra.
Era esattamente ciò che mi serviva. Grazie.
Prego, figurati! 
"Paolo90":
Ruffini non è tuo amico?
Se $p(x)$ ha come radice $\alpha$, allora $p(x)=(x-alpha)q(x)$ per un certo polinomio $q(x)$. Allora
\[
p(-x)=(-x-\alpha)q(-x)
\]
e quindi $-alpha$ è radice di $p(-x)$. Ti convince?
P.S. Intanto, sposto in Algebra.
A me par che $alpha in CC$ è radice di $p(x)hArrp(alpha)=0$(per definizione)$hArrp[-(-alpha)]=0hArr-alpha$ è radice di $p(-x)$
(sempre per definizione..):
direi dunque che proceder per induzione sia equivalente ad uccider mosche con un cannone
(e dunque forse era il caso di spostare nella sezione contenente l'apposito thread
)!Una curiosità,comunque,per l'autore del post:
l'avevi piazzato nella stanza Analisi perchè era l'applicazione al caso polinomiale d'una proprietà delle funzioni con grafico simmetrico rispetto ad uno dei due assi coordinati?
Saluti dal web.
"theras":
A me par che $alpha in CC$ è radice di $p(x)hArrp(alpha)=0$(per definizione)$hArrp[-(-alpha)]=0hArr-alpha$ è radice di $p(-x)$ (sempre per definizione..):
Apprezzo entrambe le dimostrazioni che mi sono state proposte.
"theras":
Una curiosità, comunque, per l'autore del post:
l'avevi piazzato nella stanza Analisi perchè era l'applicazione al caso polinomiale d'una proprietà delle funzioni con grafico simmetrico rispetto ad uno dei due assi coordinati?
Saluti dal web.
No, si tratta semplicemente di una mia svista.
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