Dimostrazione sulle intersezioni e unioni

[handuup]

Buonasera. Ho una dimostrazione stupida che non riesco a risolvere, o meglio, penso di non aver capito come si fanno le dimostrazioni.
Devo dimostrare questo: $(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C).
P.S Penso di aver dimostrato l'esercizio ma effettivamente non so se ho fatto bene o meno

[Silente]

Vediamo come hai fatto..

[handuup]

Innanzitutto dico che ho sbagliato. Poi non ho capito come si fa una dimostrazione e soprattutto non capisco quando una cosa la ho dimostrata o meno.Allora. A unione B so che x appartiene a A o B o a entrambi; quindi l'intersezione con C mi dice che il risultato appartiene a A e C; a B e C; oppure tutti e 3.
Questa era il primo membro dell'equazione.
Dall'intersezione di A con C trovo che x appartiene sia ad A che a C. Dall'intersezione di B con C so che x appartiene sia a B e a C. Dall' unione di queste 2 intersezioni trovo che x appartiene a tutti e 3 gli insiemi.

[algibro]

"handuup":
Dall'intersezione di A con C trovo che x appartiene sia ad A che a C. Dall'intersezione di B con C so che x appartiene sia a B e a C. Dall' unione di queste 2 intersezioni trovo che x appartiene a tutti e 3 gli insiemi.

Non proprio,
se $x \in A \cap B$ allora $x \in A$ e $x \in B$,
se $x \in B \cap C$ allora $x \in B$ e $x \in C$,
quindi, se $x \in (A \cap B) \cup (A \cap B) \Rightarrow x \in A$ e $x \in B$ oppure $x \in B$ e $x \in C$.

Per provare l'uguaglianza dovresti dimostrare la doppia inclusione, ovvero dovresti provare che:
1) $(A \cup B) \cap C \subseteq (A \cap C) \cup (B \cap C)$
2) $(A \cap C) \cup (B \cap C) \subseteq (A \cap B) \cap C$

Vediamo la 1):
Se $x \in (A \cup B)$ allora $x \in A$ oppure $x \in B$,
quindi se $x \in (A \cup B) \cap C$ allora $x \in A$ e $x \in C$ (i) oppure $x \in B$ e $x \in C$(ii).
Se si verifica la (i) allora $x \in (A \cap C)$ e dunque $x \in (A \cap C) \cup (B \cap C)$;
Se invece di verifica la (ii) allora $x \in (B \cap C)$ e quindi $x \in (A \cap C) \cup (B \cap C)$.
Ho così provato che $(A \cup B) \cap C \subseteq (A \cap C) \cup (B \cap C)$.

prova la 2).