Dimostrazione sui sotto-gruppi
Ciao raga
posto (z,+) il gruppo additivo rispetto agli interi e i suoi sotto gruppi H,K dove H=(nZ,+) e K=(mZ,+) con n,m due numeri interi sapreste spiegarmi perchè l'intersezione tra i due è un sotto-gruppo e l'unione non lo è sempre? Cioè, non dovrebbe essere l'opposto. Non riesco a dimostrare questa cosa e ho provato di tutto. Ho controllato tutte le caratteristiche delle definizioni ma mi sfugge qualcosa... idee?
Grazie
posto (z,+) il gruppo additivo rispetto agli interi e i suoi sotto gruppi H,K dove H=(nZ,+) e K=(mZ,+) con n,m due numeri interi sapreste spiegarmi perchè l'intersezione tra i due è un sotto-gruppo e l'unione non lo è sempre? Cioè, non dovrebbe essere l'opposto. Non riesco a dimostrare questa cosa e ho provato di tutto. Ho controllato tutte le caratteristiche delle definizioni ma mi sfugge qualcosa... idee?
Grazie
Risposte
Ciao.
Per quanto riguarda l'unione è facile convincersi del fatto di cui parli. Considera [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] come gruppo additivo. Prendi i sottogruppi [tex]$3\mathbb{Z}$[/tex] e [tex]$5\mathbb{Z}$[/tex]. L'unione di questi due sottogruppi coincide con l'insieme che contiene tutti i multipli interi di 3 o di 5. Quindi ad esempio sia 3 sia 5 sono contenuti in detta unione.
Però [tex]3+5=8 \notin 3\mathbb{Z} \cup 5\mathbb{Z}[/tex].
Da qui puoi trarre le tue conclusioni.
P.S. Per l'intersezione, invece, è molto semplice dimostrare quanto affermi: prova e facci sapere se hai bisogno di una mano.
Per quanto riguarda l'unione è facile convincersi del fatto di cui parli. Considera [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] come gruppo additivo. Prendi i sottogruppi [tex]$3\mathbb{Z}$[/tex] e [tex]$5\mathbb{Z}$[/tex]. L'unione di questi due sottogruppi coincide con l'insieme che contiene tutti i multipli interi di 3 o di 5. Quindi ad esempio sia 3 sia 5 sono contenuti in detta unione.
Però [tex]3+5=8 \notin 3\mathbb{Z} \cup 5\mathbb{Z}[/tex].
Da qui puoi trarre le tue conclusioni.
P.S. Per l'intersezione, invece, è molto semplice dimostrare quanto affermi: prova e facci sapere se hai bisogno di una mano.
In generale l'intersezione di sottogruppi di un gruppo è sempre un sottogruppo. Infatti contiene banalmente l'unità del gruppo (entrambi hanno l'unità). Se x e y sono elementi di questa intersezione allora x ed y appartengono ad entambi i sottogruppi e quindi visto che ognuno di essi è un sottogruppo , ognuno contiene anche $x^(-1)y$, quindi questo appartiene anche all'intersezione dei due, e quindi l'intersezione è un sottogruppo.
p.s.: vale per una qualunque famiglia di sottogruppi di un gruppo di cui fai l'intersezione (sicuramente finita; non so se vale anche nel caso infinito, ma salvo particolari casi non credo)
L'unione invece non lo è , in generale, (domanda: ci sono dei sottogruppi la cui unione è un sottogruppo? rifletti...la risposta è si, ma come devono essere fatti questi sottogruppi?) infatti non è verificate la caratterizzazione.
p.s.: vale per una qualunque famiglia di sottogruppi di un gruppo di cui fai l'intersezione (sicuramente finita; non so se vale anche nel caso infinito, ma salvo particolari casi non credo)
L'unione invece non lo è , in generale, (domanda: ci sono dei sottogruppi la cui unione è un sottogruppo? rifletti...la risposta è si, ma come devono essere fatti questi sottogruppi?) infatti non è verificate la caratterizzazione.
"biggest":Certo che vale nel caso infinito!
non so se vale anche nel caso infinito, ma salvo particolari casi non credo
Come puoi vedere nel tuo argomento non tiri in ballo questioni di cardinalita' della famiglia di cui fai l'intersezione.
grazie ragazzi! Domani appena sveglio proverò a raggionarci bene !!! GRAZIE ANCORA!
!!! GRAZIE ANCORA!
ok, grazie
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