Dimostrazione sugli anelli
Salve, qualcuno mi saprebbe spiegare come dimostrare le le seguenti proposizioni?
Sia A un anello commutativo unitario ed $x in A$ un elemento nilpotente. Allora si ha:
1) 1+x è un elemento unitario di A.
2) $u+x in U(A)$, qualunque sia $u in U(A)$.
Sia A un anello commutativo unitario ed $x in A$ un elemento nilpotente. Allora si ha:
1) 1+x è un elemento unitario di A.
2) $u+x in U(A)$, qualunque sia $u in U(A)$.
Risposte
Beh, cosa c'è da spiegare? Immagino che si possa trovare su ogni testo di algebra commutativa, primo fra tutti l'Atiyah.
Ti delineo la prima, poi puoi provare a fare la seconda. Siccome [tex]x[/tex] è nilpotente, possiamo scegliere [tex]n \in \mathbb N[/tex], [tex]n > 0[/tex] tale che [tex]x^n = 0[/tex]. Adesso osserviamo semplicemente che [tex](1+x) (1 - x + x^2 +\ldots + (-1)^{n-1} x^{n-1}) = 1 + (-1)^{n-1} x^n = 1[/tex].
Ti delineo la prima, poi puoi provare a fare la seconda. Siccome [tex]x[/tex] è nilpotente, possiamo scegliere [tex]n \in \mathbb N[/tex], [tex]n > 0[/tex] tale che [tex]x^n = 0[/tex]. Adesso osserviamo semplicemente che [tex](1+x) (1 - x + x^2 +\ldots + (-1)^{n-1} x^{n-1}) = 1 + (-1)^{n-1} x^n = 1[/tex].
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