Dimostrazione su invertibilità

[Pozzetto1]

Buongiorno ragazzi,

oggi vi chiedo aiuto per una semplice(per voi ma non per me) dimostrazione:

Se ho un numero $m>1$ come faccio a dimostrare che $m$ è invertibile $mod(m+1)$ e quindi calcolare il suo inverso moltiplicativo?

Io so solo che: $m$ è invertibile $mod(m+1)$ sse $mcd(m,m+1)=1$, quindi $1=(m)x+(m+1)y$, non so continuare oltre....

[Frink1]

Osserva che, come del resto hai scritto tu, $ MCD(m,m+1)=1 $ significa che i due numeri sono coprimi. Ma due numeri consecutivi lo sono sempre a meno che non siano $ 1 $ e $ 2 $. Da questo segue la tesi.

[Pozzetto1]

Ok, fin qui ci sono...ma per l'inverso moltiplicativo?

[Frink1]

Sai che esiste perché $ MCD(m,m+1)=1 $, per calcolarlo usi il metodo classico con l'identità di Bezout, e quella che hai chiamato $ x $ sarà l'inverso di $ m $ in $ ZZ_(m+1) $

[Pozzetto1]

Ovvero secondo Bezout(non me ne voglia se è sbagliato) $1=(m)x+(m+1)y$ ?

[Frink1]

Certo che sì, ma visto che siamo in $ ZZ_(m+1) $, qualsiasi multiplo di $ m+1 $ è congruo a $ 0 $, ma questa è la parte di teoria che sicuramente conosci!

P.s. Non me ne voglia?!? Ahah credo di essere più giovane e più inesperto di te, evitiamo i formalismi

[Pozzetto1]

Certo, ma mi manca il passaggio finale....

[Frink1]

Non ho capito quale passaggio, sei già arrivato!

$1=mx+(m+1)y-=mx(mod(m+1))=>1=mx$ in $ZZ_(m+1)$, perciò $x=m^(-1)$

[Pozzetto1]

Ah ecco.....E' proprio $x$ allora.... Cominciavo a pensare a cose strane quando in realtà è molto semplice!