Dimostrazione su inverso aritmetico modulo n

[enlob]

Ciao a tutti, questo è il mio primo post sul forum.
Non riesco a dimostrare questa proposizione di matematica discreta sulle congruenze:
Sia $ a in Z $. Se $ a $ ammette un inverso aritmetico $ u (mod n) $, allora sono inversi aritmetici di $ a (mod n) $ tutti e soli gli elementi dell'insieme $ _n = {u+kn|k in Z} $.
Potete aiutarmi?

[Kashaman]

Io farei così:
Supponi che $u$ sia inverso di $a$ modulo n, prendi $v=u+nk, k in Z$.
$av-=au+ank-=au=1(modn)$ , questo prova che ogni elemento della classe di $$ è un inverso aritmetico di a.
Adesso ti resta da provare l'unicità, cioè che se $w$ è un inverso aritmetico di $a$ sta in $$.
Allora $aw-=1(modn)$ d'altra parte $au-=1(modn)$ per transitività (ti ricordo che $-=$ è una relazione di equivalenza) s'ha che $aw-=au(modn)$, $-=$ è compatibile col prodotto di $ZZ$ e quindi $uaw-=uau(modn) => w-=u(modn) => w \in $, come volevasi.

[enlob]

$ av-=au+ank-=au-=1(modn) $$ av-=au+ank-=au-=1(modn) $ è vero perché $ au+ank-=au(modn) $ quindi $ n|au+ank-au <=> n|ank $ che è sempre vera perché $ n(ak) $ è multiplo di $ n $. E' così?
Nella seconda parte, non dovrei anche esibire una scrittura $ u+kn $ per $ w $?
Comunque sei stato molto chiaro. Grazie.