Dimostrazione su insieme delle parti
Buongiorno agli amici del forum,
mi trovo davanti ad un esercizio di un vecchio esame. Tale esercizio era facoltativo ma mi piacerebbe capire lo stesso come svolgerlo.
Il testo è il seguente:
Dimostrare che $P(A - B) sube {\varphi} uu (P(A) - P(B))$.
Come procedere?
mi trovo davanti ad un esercizio di un vecchio esame. Tale esercizio era facoltativo ma mi piacerebbe capire lo stesso come svolgerlo.
Il testo è il seguente:
Dimostrare che $P(A - B) sube {\varphi} uu (P(A) - P(B))$.
Come procedere?
Risposte
Qualche idea? Come è fatto l'insieme a destra del segno di sottoinsieme?
L'insieme a destra contiene oltre all'insieme vuoto, ad $A$ e a $B$ tutti i possibili sottoinsiemi di $A$ tranne i sottoinsiemi di $B$.
Sinceramente ho provato a dimostrare quanto sopra ma non sono giunto ancora ad alcuna soluzione...
Sei sicuro che contenga \(B\)? \(B\) è un sottoinsieme di \(B\)!
Premetto che usa la teoria naif degli insiemi, se hai bisogno di qualcosa di più tecnico potrei non essere in grado di aiutarti. L'insieme a sinistra contiene tutti i sottoinsiemi di \(A\) che non contengono elementi di \(B\). Insomma:
\begin{align} \mathcal{P}(A - B) &= \mathcal{P}\bigl(\{ a\in A : a\notin B \}\bigr) \\
&= \{ U\in \mathcal{P}(A) : a\in U \wedge a\notin B \} \\
&= \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\cap B = \emptyset \} \end{align}
su questo hai dubbi?
Dall'altra parte hai che:
\begin{align} \{\emptyset \}\cup (\mathcal{P}(A) - \mathcal{P}(B) ) &= \{\emptyset \}\cup \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\notin \mathcal{P}(B) \} \\
&= \{\emptyset \}\cup \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\nsubseteq B \} \\
&= \{\emptyset \}\cup \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\cap B \neq U \} \\
&=\; ?
\end{align}
Hai dubbi sui passaggi che ho fatto, tenendo presente che non sono certo unici. A questo punto dovresti poter concludere in un paio di passaggi.
Tieni conto che l’uguaglianza in genere non c’è. Prova per esempio a ragionare con \(A = \{ 1, 2, 3\}\) e \(B = \{ 1\}\). Insomma costruisci i due insiemi.
Premetto che usa la teoria naif degli insiemi, se hai bisogno di qualcosa di più tecnico potrei non essere in grado di aiutarti. L'insieme a sinistra contiene tutti i sottoinsiemi di \(A\) che non contengono elementi di \(B\). Insomma:
\begin{align} \mathcal{P}(A - B) &= \mathcal{P}\bigl(\{ a\in A : a\notin B \}\bigr) \\
&= \{ U\in \mathcal{P}(A) : a\in U \wedge a\notin B \} \\
&= \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\cap B = \emptyset \} \end{align}
su questo hai dubbi?
Dall'altra parte hai che:
\begin{align} \{\emptyset \}\cup (\mathcal{P}(A) - \mathcal{P}(B) ) &= \{\emptyset \}\cup \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\notin \mathcal{P}(B) \} \\
&= \{\emptyset \}\cup \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\nsubseteq B \} \\
&= \{\emptyset \}\cup \{ U\in \mathcal{P}(A) : U\cap B \neq U \} \\
&=\; ?
\end{align}
Hai dubbi sui passaggi che ho fatto, tenendo presente che non sono certo unici. A questo punto dovresti poter concludere in un paio di passaggi.
Tieni conto che l’uguaglianza in genere non c’è. Prova per esempio a ragionare con \(A = \{ 1, 2, 3\}\) e \(B = \{ 1\}\). Insomma costruisci i due insiemi.
Posso concludere dicendo che a sinistra ho $U nn B = \varphi $ e dall'altra ho $U nn B != U $ quindi il vuoto è un sottoinsieme del $\varphi uu D$.
Non ne sono molto convinto della conclusione ma sinceramente non sono riuscito a continuare in altro modo...
Non ne sono molto convinto della conclusione ma sinceramente non sono riuscito a continuare in altro modo...
Semplicemente se un sottoinsieme ha intersezione vuota e non è vuoto allora non appartiene a B.
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