Dimostrazione su Anelli Gruppali
Ciao a tutti, è il mio primo post sul forum.
Non riesco a dimostrare la suriettività di un isomorfismo riguardo una proprietà universale sugli anelli gruppali.
Visto che non sono una struttura così comune, ricordo la definizione di anello gruppale che è piuttosto semplice, dato un gruppo $G$ e un anello unitario $R$, l'anello gruppale $RG$ è l'anello delle somme formali finite, ovvero elementi della forma:
$$ \alpha = \sum_{g\in G}a_{g}\cdot g$$
con $g\in G$, $\a_{g}\in R$ e $a_{g}\ne 0$ per al massimo un numero finito di $g$.
Per questo anello (che è banalmente un $R$-modulo) sussiste la seguente proprietà universale:
$\forall A$ anello tale che $R\subset A$ e $\forall f:G\rightarrow A$ che conservi l'operazione si ha che esiste un unico omomorfismo di anelli $R$-lineare $f^\ast :RG\rightarrow A$ tale che $f=f^\ast \circ i$ dove $i:G\rightarrow RG$ è l'inclusione di $G$ in $RG$.
Ciò che devo dimostrare è che se questa proprietà vale per un altro anello $X$ allora $X \cong RG$ come anelli.
Ovvero, nello specifico della mia dimostrazione ho che $R\subset X$ e $\exists \nu : G\rightarrow X$ che conserva l'operazione, tali che $\forall A$ anello tale che $R\subset A$ e $\forall f:G\rightarrow A$ che conservi l'operazione si ha che esiste un unico omomorfismo di anelli $R$-lineare $f^\ast :X\rightarrow A$ tale che $f=f^\ast \circ \nu$.
Si dimostra facilmente che $RG$ si immerge in $X$ tramite un monomorfismo che ho chiamato $\varphi$ che banalmente manda gli elementi di $G$ visto come sottoinsieme di $RG$ nei rispettivi $\nu (g)$, ovvero $\varphi (\sum_{g\in G}a_{g}\cdot g)=\sum_{g\in G}a_{g}\nu (g)$.
Di questo $\varphi$ non riesco però a dimostrare la suriettività.
Altrimenti si potrebbe considerare (considerano $X$ e $RG$ come $R$-moduli) il sottomodulo di $X$ $R\nu (G)$ e far vedere che è esattamente $X$, ovvero $X$ è generato da $\nu (G)$ ma non riesco, credo mi sfugga qualcosa di banale, qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Non riesco a dimostrare la suriettività di un isomorfismo riguardo una proprietà universale sugli anelli gruppali.
Visto che non sono una struttura così comune, ricordo la definizione di anello gruppale che è piuttosto semplice, dato un gruppo $G$ e un anello unitario $R$, l'anello gruppale $RG$ è l'anello delle somme formali finite, ovvero elementi della forma:
$$ \alpha = \sum_{g\in G}a_{g}\cdot g$$
con $g\in G$, $\a_{g}\in R$ e $a_{g}\ne 0$ per al massimo un numero finito di $g$.
Per questo anello (che è banalmente un $R$-modulo) sussiste la seguente proprietà universale:
$\forall A$ anello tale che $R\subset A$ e $\forall f:G\rightarrow A$ che conservi l'operazione si ha che esiste un unico omomorfismo di anelli $R$-lineare $f^\ast :RG\rightarrow A$ tale che $f=f^\ast \circ i$ dove $i:G\rightarrow RG$ è l'inclusione di $G$ in $RG$.
Ciò che devo dimostrare è che se questa proprietà vale per un altro anello $X$ allora $X \cong RG$ come anelli.
Ovvero, nello specifico della mia dimostrazione ho che $R\subset X$ e $\exists \nu : G\rightarrow X$ che conserva l'operazione, tali che $\forall A$ anello tale che $R\subset A$ e $\forall f:G\rightarrow A$ che conservi l'operazione si ha che esiste un unico omomorfismo di anelli $R$-lineare $f^\ast :X\rightarrow A$ tale che $f=f^\ast \circ \nu$.
Si dimostra facilmente che $RG$ si immerge in $X$ tramite un monomorfismo che ho chiamato $\varphi$ che banalmente manda gli elementi di $G$ visto come sottoinsieme di $RG$ nei rispettivi $\nu (g)$, ovvero $\varphi (\sum_{g\in G}a_{g}\cdot g)=\sum_{g\in G}a_{g}\nu (g)$.
Di questo $\varphi$ non riesco però a dimostrare la suriettività.
Altrimenti si potrebbe considerare (considerano $X$ e $RG$ come $R$-moduli) il sottomodulo di $X$ $R\nu (G)$ e far vedere che è esattamente $X$, ovvero $X$ è generato da $\nu (G)$ ma non riesco, credo mi sfugga qualcosa di banale, qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Risposte
Se $X$ ha quella proprietà universale allora l'inclusione di $G$ in $RG$ induce $X to RG$, l'idea è mostrare che questo $X to RG$ è l'inverso del $RG to X$ che hai costruito.
E' molto piu' semplice, ed e' vero per ogni oggetto che sia definito da una proprieta' universale, grazie all'unicita' esistono mappe \(X \leftrightarrows R[G]\) che una volta composte sono costrette ad essere mutuamente inverse. Poi, definire questo isomorfismo dipendera' da X, e dunque o mi dai un $X$ ben preciso oppure non puoi scrivere la funzione esplicita
Non ho un $X$ preciso, lo scopo è proprio dimostrare che $RG$ è l'unico anello per cui vale quella proprietà a meno di isomorfismi, e potere quindi usarla come definizione alternativa.
Infatti, e' proprio quello che intendo, non lo hai. Del resto non ti interessa 
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