Dimostrazione sottogruppi massimali

[mafantuz]

non riesco a trovare la dimostrazione del fatto che i sottogruppi massimali di $ZZ$ sono tutti e soli i $pZZ$ con $p$ primo. so che i sottogruppi di indice primo di un gruppo finito sono massimali ma non mi pare sufficiente. qualcuno può indicarmi la dimostrazione o un testo/dispensa che la riporti? grazie.

[mafantuz]

basta dire
1 - $ AA z in ZZ$ si ha $ mdc(p,z) in {1,p} $ quindi $pZZ$ non ha sottogruppi propri;
2 - $ pZZ in nZZ rArr nZZ sube pZZ $;

?

grazie.

[Steven11]

Non ho capito bene la tua soluzione.

In questi casi si conclude subito andando al quoziente: se $A$ è un sottogruppo tale che $p \mathbb{Z} \leq A \leq \mathbb{Z}$, allora al quoziente hai $A/ (p\mathbb{Z}) \leq \mathbb{Z} / (p\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}_p$, ma $\mathbb{Z}_p$ ha solo sottogruppi banali da cui $A/ (p\mathbb{Z}) = \{ e \} \implies A= p\mathbb{Z}$ oppure $A/ (p\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} / (p\mathbb{Z}) \implies A= \mathbb{Z}$.

[vict85]

Manca solo la dimostrazione che tutti i sottogruppi di \(\mathbb{Z}\) sono ciclici ma è una conseguenza dell'identità di Bézout e del fatto che \(\mathbf{N}\) è limitato inferiormente.