Dimostrazione sommatoria
Devo dimostrare la seguente uguaglianza (senza ricorrere al principio di induzione):
$\frac{(-1)^n}{n+1} + \sum_{k=1}^n ((n),(k-1))*\frac{(-1)^k}{k}=frac{1}{n+1}$
Ero arrivato a capire che per n pari il termine in k e il termine in n-k-1 erano opposti, sviluppando il coefficiente binomiale, da cui essendo i termini un numero pari si eliminano tutti a vicenda e quindi da 0. Non sono riuscito ad estendere il ragionamento ad n dispari, quindi suppongo ci sia un metodo diverso. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano? Grazie
$\frac{(-1)^n}{n+1} + \sum_{k=1}^n ((n),(k-1))*\frac{(-1)^k}{k}=frac{1}{n+1}$
Ero arrivato a capire che per n pari il termine in k e il termine in n-k-1 erano opposti, sviluppando il coefficiente binomiale, da cui essendo i termini un numero pari si eliminano tutti a vicenda e quindi da 0. Non sono riuscito ad estendere il ragionamento ad n dispari, quindi suppongo ci sia un metodo diverso. Qualcuno riuscirebbe a darmi una mano? Grazie
Risposte
Secondo me l'uguaglianza che hai scritto è sbagliata. Quella giusta sarebbe:
$ \frac{(-1)^n}{n+1} - \sum_{k=1}^n ((n),(k-1))*\frac{(-1)^k}{k}=frac{1}{n+1} $
Come suggerimento, prova a moltiplicare entrambi i membri per $n+1$
Poi quella sommatoria dovrebbe ricordarti molto la formula del binomio di Newton, ma per diventarlo esattamente devi fare qualche modifica...
$ \frac{(-1)^n}{n+1} - \sum_{k=1}^n ((n),(k-1))*\frac{(-1)^k}{k}=frac{1}{n+1} $
Come suggerimento, prova a moltiplicare entrambi i membri per $n+1$
Poi quella sommatoria dovrebbe ricordarti molto la formula del binomio di Newton, ma per diventarlo esattamente devi fare qualche modifica...
Scusa. E' possibile che abbia sbagliato, perchè quando l'ho scritta andavo a memoria. 
Grazie comunque dell'aiuto. Proverò come hai detto
Grazie comunque dell'aiuto. Proverò come hai detto
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