Dimostrazione somma dei primi n quadrati

[Ununquadio]

Salve, sto leggendo il libro "Che cos'è la matematica" di R. Courant e, mentre per altri teoremi come le progressioni aritmetiche e geometriche c'è la dimostrazione, per questo teorema non c'è scritta. Ho cercato ed ho trovato una dimostrazione che però va al di la delle mie conoscenze di studentello del 3 anno di liceo, o almeno io non ci ho capito molto. Conoscete qualche dimostrazione di questo teorema semplice e che non usi strumenti al di sopra del mio livello?

[gundamrx91-votailprof]

Qual'è la dimostrazione del libro?

[j18eos]

Io l'unica dimostrazione che conosco è piena di contazzi adatta a una qualsiasi persona che conosce i polinomi!

Se è così quella che hai trovato, prova a indicare i passaggi che non ti sono chiari.

[Ununquadio]

http://www.vialattea.net/esperti/mat/sq/ ho trovato questa, ma non conosco il significato di quel simbolo

[Kashaman]

questo simbolo : $\sum$?

[Ununquadio]

Sì

[Omar931]

Bellissima la dimostrazione lì riportata. Se t'interessa esiste una formula per la somma dei primi n numeri naturali ciascuno elevato ad un numero k(con una dimostrazione combinatorica).
Ovvero $\sum_{i=1}^{n} i^k$

[gundamrx91-votailprof]

"Ununquadio":Sì

Quel simbolo è il simbolo di sommatoria. Nello specifico \(\sum_{i=1}^n i_i^2\) sta ad indicare la somma dei quadrati dei numeri che vanno da \(1\) a \(n\); ad esempio \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2\).
Spero di essere stato chiaro e che fosse questo il tuo dubbio...

[Ununquadio]

"GundamRX91":[quote="Ununquadio"]Sì

Quel simbolo è il simbolo di sommatoria. Nello specifico \(\sum_{i=1}^n i_i^2\) sta ad indicare la somma dei quadrati dei numeri che vanno da \(1\) a \(n\); ad esempio \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2\).
Spero di essere stato chiaro e che fosse questo il tuo dubbio...[/quote]
Sì ma come si passa da quello alla formula?

[gundamrx91-votailprof]

"Ununquadio":[quote="GundamRX91"][quote="Ununquadio"]Sì

Quel simbolo è il simbolo di sommatoria. Nello specifico \(\sum_{i=1}^n i_i^2\) sta ad indicare la somma dei quadrati dei numeri che vanno da \(1\) a \(n\); ad esempio \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2\).
Spero di essere stato chiaro e che fosse questo il tuo dubbio...[/quote]
Sì ma come si passa da quello alla formula?[/quote]
In che senso?

[40rob]

"Ununquadio":[quote="GundamRX91"][quote="Ununquadio"]Sì

Quel simbolo è il simbolo di sommatoria. Nello specifico \(\sum_{i=1}^n i_i^2\) sta ad indicare la somma dei quadrati dei numeri che vanno da \(1\) a \(n\); ad esempio \(1^2 + 2^2 + \dots + n^2\).
Spero di essere stato chiaro e che fosse questo il tuo dubbio...[/quote]
Sì ma come si passa da quello alla formula?[/quote]

Si può dimostrare per induzione senza complicazioni. Non la scrivere proprio la formula con sigma se ti sta antipatica

se \(n = 0\) abbiamo \(0^2 = \frac{0(0+1)(2 \times 0+1)}{6} = \frac{0}{6} = 0\)

Assumiamo l'asserto vero per \(n\)

\(A) 0^2 + 1^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

dimostriamo che vale anche per \(n + 1\).

Da \(A\) sostituendo abbiamo che

\(0^2 + 1^2 + \dots + n^2 + (n + 1)^2\ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n + 1)^2\)

mettendo in evidenza \((n+1)\)

\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n + 1)^2 = \frac{(n + 1) (n(2n+1) + 6(n + 1))}{6}\)

osservando che \((n + 2)(2n + 3) = 2n^2 + 3n + 4n + 6 = 2n^2 + n + 6n + 6 = n(2n+1) + 6(n + 1)\)
sostituendo abbiamo

\(\frac{(n + 1) (n(2n+1) + 6(n + 1))}{6} = \frac{(n + 1) ((n + 2)(2n + 3))}{6} = \frac{(n+1)(((n+1) + 1)((n+1)+(n+1)+1)}{6} =
\frac{(n + 1)(((n+1) + 1)(2(n+1) + 1)}{6}\)

Fine.

P. S. L'ho dimostrato a partire da 0 visto che vale comunque.