Dimostrazione sbagliata con induzione.
Ciao a tutti! il professore di algebra ci ha dato per compito di trovare l'errore nella dimostrazione per induzione che $dx^n / dx = 0, AA n in N.$
Utilizzando il principio di induzione forte si trova l'errore perchè $P(1)$ è falsa, ma applicando il principio di induzione classico non trovo l'errore.
Se $P(0)$ è vera perchè $dx^0/dx = d1/dx = 0$
Se assumo per P(n) è vera, questo implica che P(n+1) è vera perchè $dx^(n+1)/dx = d(x*x^n)/dx$ e usando la regola della derivata di un prodotto viene zero..
Dove sbaglio!?
Utilizzando il principio di induzione forte si trova l'errore perchè $P(1)$ è falsa, ma applicando il principio di induzione classico non trovo l'errore.
Se $P(0)$ è vera perchè $dx^0/dx = d1/dx = 0$
Se assumo per P(n) è vera, questo implica che P(n+1) è vera perchè $dx^(n+1)/dx = d(x*x^n)/dx$ e usando la regola della derivata di un prodotto viene zero..
Dove sbaglio!?
Risposte
Prova a scrivere per esteso il passo induttivo che ti permette di dimostrare $P(1)$ assumendo che sia vera $P(0)$.
Noterai che c'è qualcosa che non va, quindi non è vero che $P(n)=>P(n+1)\ \forall n\in\NN$ (se non riesci comunque a capire cosa c'è che non va, posta qui per esplicito la dimostrazione di $P(0)=>P(1)$ così ne parliamo).
Noterai che c'è qualcosa che non va, quindi non è vero che $P(n)=>P(n+1)\ \forall n\in\NN$ (se non riesci comunque a capire cosa c'è che non va, posta qui per esplicito la dimostrazione di $P(0)=>P(1)$ così ne parliamo).
No allora P(1) è falsa. Infatti se prendo in considerazione $dx^1/dx$ non posso scomporre usando $x^(n+1) = x*x^n$. Infatti $dx/dx = 1$
Quindi P(0) non implica P(1). E quindi non posso usare il principio di induzione forte dove dimostro una serie di $P(0),P(1)..P(n)$ i quali implicano che $P(n+1)$ è vera. Giusto fin qui?
Il mio dubbio è: Il principio formulato in un'altra maniera afferma che se P(0) è vera e che se P(n) implica P(n+1), allora $P(n)$ è vera $AA n$.
Allora $dx^0/dx = 0$ quindi P(0) è vera.
Assumo $P(n)$ vera. $P(n+1)$ è $d(x*x^n)/dx= dx^1/dx*x^n + x*dx^n/dx= 0$($x^1$ è sempre un $x^n$ quindi la derivata è zero assumendo $P(n)$ vera) quindi $P(n)$ implica $P(n+1)$
Dove sbaglio?
Quindi P(0) non implica P(1). E quindi non posso usare il principio di induzione forte dove dimostro una serie di $P(0),P(1)..P(n)$ i quali implicano che $P(n+1)$ è vera. Giusto fin qui?
Il mio dubbio è: Il principio formulato in un'altra maniera afferma che se P(0) è vera e che se P(n) implica P(n+1), allora $P(n)$ è vera $AA n$.
Allora $dx^0/dx = 0$ quindi P(0) è vera.
Assumo $P(n)$ vera. $P(n+1)$ è $d(x*x^n)/dx= dx^1/dx*x^n + x*dx^n/dx= 0$($x^1$ è sempre un $x^n$ quindi la derivata è zero assumendo $P(n)$ vera) quindi $P(n)$ implica $P(n+1)$
Dove sbaglio?
"Vanzan":
Assumo $P(n)$ vera. $P(n+1)$ è $d(x*x^n)/dx= dx^1/dx*x^n + x*dx^n/dx= 0$($x^1$ è sempre un $x^n$ quindi la derivata è zero assumendo $P(n)$ vera) quindi $P(n)$ implica $P(n+1)$
Dove sbaglio?
Questo discorso fallisce per $n=0$.
Infatti tu affermi che ${dx^{n+1}}/dx=dx/dx\cdot x^{n}+x{dx^{n}}/dx$ per concludere che il risultato deve essere $0$ perché per l'ipotesi induttiva stiamo assumendo vero che ${dx^{k}}/dx$ per ogni $k
Per rendertene conto prova a scrivere per esteso la dimostrazione di $P(0)=>P(1)$ (vale a dire, riscrivi la dimostrazione che hai presentato scrivendo $0$ al posto di $n$ e nota che, solo in questo caso, c'è un passaggio non giustificato).
Io non capisco proprio questo. Se Assumo che per $AA k
Il fatto che P(0) non implica P(1) non te lo dimostrato all'inizio della risposta precedente?
Il fatto che P(0) non implica P(1) non te lo dimostrato all'inizio della risposta precedente?
Il problema è che finchè non dimostri che \[ \frac{\text{d}}{\text{d}x} (x) = 0 \qquad \qquad (*)\]
non puoi usarlo per dimostrare il passo induttivo generico.
Non provare a dire: "Dimostro \(\displaystyle (*) \) nel passo induttivo generico"!
Perchè nella dimostrazione del passo induttivo generico assumi già che valga \(\displaystyle (*) \).
Quand'è che (ipoteticamente) si dimostra \(\displaystyle (*) \)?
non puoi usarlo per dimostrare il passo induttivo generico.
Non provare a dire: "Dimostro \(\displaystyle (*) \) nel passo induttivo generico"!
Perchè nella dimostrazione del passo induttivo generico assumi già che valga \(\displaystyle (*) \).
Quand'è che (ipoteticamente) si dimostra \(\displaystyle (*) \)?
Ok grazie. Quindi sbaglio nel considerare $dx/dx = 0$ assumendo per vera $dx^n/dx$ ?
Essendo $n$ un numero qualunque pensavo si potesse estendere a $n = 1$ senza problemi.
Essendo $n$ un numero qualunque pensavo si potesse estendere a $n = 1$ senza problemi.
Provo a spiegarmi in un altro modo. Riscrivo il passo induttivo:
"Sia $n in {0,1,2,...}$ fissato. Supponiamo $P(n)$ vera e $P(k)$ vera per tutti i $k$ naturali minori di $n$..."
Qui non vuol dire che per qualunque $n$ hai sempre automaticamente $P(1)$ vera. Infatti se $n=0$ non ce l'hai.
"Sia $n in {0,1,2,...}$ fissato. Supponiamo $P(n)$ vera e $P(k)$ vera per tutti i $k$ naturali minori di $n$..."
Qui non vuol dire che per qualunque $n$ hai sempre automaticamente $P(1)$ vera. Infatti se $n=0$ non ce l'hai.
Mmm ok penso di aver capito. Grazie mille ad entrambi!!:)
Prego.
Ma mi dispiace che non hai voluto fare ciò che ti ho detto, sarebbe stato istruttivo.
Lo ha dovuto fare Gi8: quando assumi la verità di $P(0)$ per dimostrare che vale $P(1)$ sei libero di supporre vera $P(0)$ cioè che \(dx^0/dx=0\), ma non puoi ancora assumere vera $P(1)$, cioè \(dx^1/dx=0\).
Ma mi dispiace che non hai voluto fare ciò che ti ho detto, sarebbe stato istruttivo.
Lo ha dovuto fare Gi8: quando assumi la verità di $P(0)$ per dimostrare che vale $P(1)$ sei libero di supporre vera $P(0)$ cioè che \(dx^0/dx=0\), ma non puoi ancora assumere vera $P(1)$, cioè \(dx^1/dx=0\).
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