Dimostrazione proprietà operazioni in Z

[slyb]

Salve,
come posso procedere per dimostrare se l'operazione * definita in Z da a*b = 13ab+3a+4b è o non è commutativa

secondo me è commutativa
13ab+3a+4b=13ba+3a+4b

Ma oltre questo non so come procedere.

Grazie B.

[vict85]

Controesempio...

a=1
b=2

a*b = 26 + 3 + 8 = 37
b*a = 26 + 6 + 4 = 36

Ma per una dimostrazione comunque basta ugualiare le due equazioni

$13xy+3x+4y = 13yx + 3y +4x$
$3(x-y) +4(y-x) = 0$
$z = y-x$
$4z-3z = 0$
$z=0$
Quindi è commutativa solo per $x=y$... E quindi non è un'operazione commutativa.

[slyb]

Ciao,
grazie per la risposta ...........ho solo un piccolo dubbio, perchè nella dimostrazione inverti anche a e b negli ultimi due termini dell'equazione?
Io avevo pensato che l'unica operazione a*b da considerare e da verificare fosse la prima (13ab).
Gli altri due termini (+3a+4b) non sono da ignorare dato che non contengono l'operazione a*b?
Ciao Grazie

[mistake89]

se pensi a come è definita la tua operazione:

$* : ZZ x ZZ rarr ZZ$
$*(a,b) = 13ab+3a+4b$

mentre invertendo gli elementi della coppia questa diventa
$*(b,a) = 13ba+3b+4a$

la motivazione dovrebbe essere questa

[vict85]

"slyb":Ciao,
grazie per la risposta ...........ho solo un piccolo dubbio, perchè nella dimostrazione inverti anche a e b negli ultimi due termini dell'equazione?
Io avevo pensato che l'unica operazione a*b da considerare e da verificare fosse la prima (13ab).
Gli altri due termini (+3a+4b) non sono da ignorare dato che non contengono l'operazione a*b?
Ciao Grazie

Quello che devi testare è che $(x,y) = (y,x)$. Se preferisci invece di operazione puoi considerarla una funzione in $ZZ^2$ (se estendi la funzione ai reali non cambia molto) e vedere se questa funzione è simmetrica rispetto all'asse $y=x$...