Dimostrazione proprietà gruppo

[gianluca.longa]

ciao, sono nuovo del forum (e della matematica in generale )

come faccio a dimostrare formalemente che (Z,+) è un gruppo?? ad esempio per dimostrare che + in Z soddisfa la prop. associativa è sufficiente scrivere che per ogni x,y,z appartente a Z, vale che (x+y)+z = x + (y+z) oppure devo fare qualche passaggio che non conosco??

grazie

[Megan00b]

Devi verificare le proprietà come l'associatività; o le prendi per buone come una definizione o le verifichi (ad esempio per induzione) a seconda di quale definizione di somma vuoi assumere.
A.

[Martino]

[mod="Martino"]Sposto in algebra. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/mod]

[gianluca.longa]

grazie, quindi verrebbe una cosa del genere??

1. definisco ricorsivamente la somma su Z

x + 1 = S(x)
x + (y + 1) = (x + y) + 1 = S(x+y)

2. dimostro per induzione su z che vale (x + y) + z = x + (y + z):

a) z = 1,

(x+y) +1 = x + (y+1) = S(x+y)


b) z ok , z+1



(x + y) + (z + 1) = ......... = x + [y + (z + 1)]

[vict85]

Si esatto quello è il procedimento. I calcoli non li ho controllati comunque ti suggerisco di usare le formule .

[orazioster]

Devi ovviamente verificare tutte
le proprietà di un gruppo, non solo l'associatività.

[claudiamatica]

La definizione ricorsiva così la dai su $NN$, e l'associatività la provi su $NN$.
Per mostrarla su $ZZ$ direi che puoi separare i vari casi (cioè distinguendo cosa succede a seconda dei segni degli addendi) oppure prendendo $ZZ$ così come è definito per costruzione ${NN \times NN} / r$ dove $r$ è la relazione che identifica $(n,m)$ con $(n+k,m+k), \forall k$ e verificando che l'associatività vale anche sul quoziente.