Dimostrazione proprietà distributiva

[DenHviteGuden]

salve a tutti, da qualche giorno ho iniziato gli studi ingegneristici, e conseguentemente analisi 1. abbiamo studiato la teoria degli insiemi, ma arrivato alla dimostrazione di una proprietà mi sono bloccato. in particolare della proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione. c'è qualcuno in grado di darmi delucidazioni? ve ne sarei molto grato.

[dan952]

Con i diagrammi di Eulero-Venn hai provato?

[DenHviteGuden]

Sinceramente non so come procedere una volta rappresentato graficamente il problema.
Da x € A intersezione di (B U C) = x € A e x € (B U C) ci sono, ma poi non capisco gli altri passaggi.

[dan952]

Sia $x \in A nn (B uu C)$ quindi $x \in A\ ^^\ x \in B uu C \Rightarrow x \in B vv x \in C \Rightarrow x \in A nn B\ vv x \in A nn C \Rightarrow x \in (A nn B)uu(A nn C)$, dunque se $x \in A nn (B uu C)$ allora $x \in (A nn B)uu(A nn C)$ ovvero $A nn (B uu C) sube (A nn B) uu (A nn C)$, analogamente si dimostra che $(A nn B) uu (A nn C) sube A nn (B uu C)$ necessariamente $A nn (B uu C)=(A nn B) uu (A nn C)$

[DenHviteGuden]

"dan95":x∈A ∧ x∈B∪C ⇒ x∈A∩B ∨x∈A∩C

Per quale proprietà si è arrivati a tale conclusione?

[dan952]

Per definizione se $x \in B uu C$ allora $x \in B vv x \in C$, quindi poiché per ipotesi si ha che $x \in A$ e $x \in B vv x \in C$ abbiamo che $x \in A nn B$ o $x \in A nn C$. Ho semplicemente usato la definizione di unione:
$A uu B \Leftrightarrow x \in A vv x \in B$

[DenHviteGuden]

mi rendo conto di essere pedante, ma faccio l'ultima domanda e poi finisco. quando abbiamo x∈A e x∈B∨x∈C si passa poi a x∈A∩B o x∈A∩C sempre usando le definizioni di intersezione e/o unione?

[dan952]

Si
Per il futuro:
Cerca di scrivere in LaTex, non solo è più elegante da vedersi ma oltretutto lo dice il regolamento.
Usare i primi simboli in LaTex è semplice basta che metti il simbolo del dollaro anteposto e posposto alla formula.