Dimostrazione proprietà di completezza di Dedekind

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
vorrei cortesemente avere una dimostrazione, passo dopo passo, della proprietà di completezza di Dedekind per l'insieme dei numeri reali definito tramite sezioni....
Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti

[Plepp]

Ciao garnak. Guarda qui, c'è quello che cerchi e molto altro

[garnak.olegovitc1]

Salve Plepp,

"Plepp":Ciao garnak. Guarda qui, c'è quello che cerchi e molto altro

ammetto che stavo leggendo proprio quegli appunti... però io preferisco dare un'altra definizione di sezione di Dedekind, per carità saranno equivalenti, forse avrei dovuto dirlo prima o almeno scriverlo, ovvero:

"Def.: siano dati \( \preceq_A\) una relazione d'ordine in \( A \), ed \( B \subset A \), dicesi che \( B \) è segmento iniziale di \( A \) se \( a \preceq_A b \) implica \(a \in B \) presi un qualunque \( a \in A,b \in B \)"

"Def.: siano dati \( \leq_\mathbb{Q} \), ed \( B \subset \mathbb{Q} \), dicesi che \( B \) è sezione di Dedekind su \( \mathbb{Q} \) rispetto ad \( \leq_\mathbb{Q} \) se \( B \neq \emptyset \) e \( B \) è segmento iniziale di \( \mathbb{Q} \) rispetto ad \( \leq_\mathbb{Q} \) e preso un qualunque \( C \in B \) esiste almeno un \( D \in B \) t.c. \( C <_\mathbb{Q} D \)"

l'enunciato sarebbe:

"siano dati \( \leq_\mathbb{R} \) ", ed \( A \subset \mathbb{R} \), ove \( A \) è limitato superiormente rispetto ad \( \leq_\mathbb{R} \), allora \( A \) ammette estremo superiore rispetto ad \( \leq_\mathbb{R} \)"

cmq sia... vediamo se leggendo riesco a capire!

Thanks! Saluti

[garnak.olegovitc1]

nel testo,e non solo, "Real Mathematical Analysis" di Charles C. Pugh leggo di valutare l'insieme \( \bigcup A \), ovvero \( \bigcup A:=\{x|\exists B \in A (x \in B)\} \), prima però devo (di)mostrare che è elemento di \( \mathbb{R} \) ovviamente, penso, sempre con l'ipotesi che \( A \) è limitato superiormente (ovvero che esiste un elemento di \( \mathbb{R} \) che contiene tutti i soli elementi, o sezioni, di \( A \))!!

[gugo82]

Sia \(A\) un insieme di numeri reali \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\) limitato superiormente da \(m=(M,\mathbb{Q}\setminus M)\).
Considera la coppia \(\gamma := (G,\mathbb{Q}\setminus G)\), in cui \(G:=\cup_{x\in A} X\) è privato dell'eventuale massimo, e mostra che essa è una sezione che individua il più piccolo dei maggioranti di \(A\).
Non mi pare difficile.

[garnak.olegovitc1]

@gugo82,

"gugo82":Sia \(A\) un insieme di numeri reali \(x=(X,\mathbb{Q}\setminus X)\) limitato superiormente da \(m=(M,\mathbb{Q}\setminus M)\).
Considera la coppia \(\gamma := (G,\mathbb{Q}\setminus G)\), in cui \(G:=\cup_{x\in A} X\) è privato dell'eventuale massimo, e mostra che essa è una sezione che individua il più piccolo dei maggioranti di \(A\).
Non mi pare difficile.

sisi... già fatto ...alla fine ho capito dopo come proseguire!! Thanks ugualmente!