Dimostrazione proprietà commutativa unione tra due insiemi

[5y5t3m]

Ciao a tutti,

Dimostrazione della proprietà commutativa dell'unione.

\(\displaystyle A \cup B = B \cup A \)

\(\displaystyle A \cup B \) e \(\displaystyle B \cup A\) sono per definizione:

\(\displaystyle A \cup B = \{ x: x \in A \vee x \in B \} \)
\(\displaystyle B \cup A = \{ x: x \in B \vee x \in A \} \)

L'operatore \(\displaystyle \vee \) è commutativo perciò:

\(\displaystyle x \in A \cup B \Longleftrightarrow x \in A \vee x \in B \Longleftrightarrow x \in B \vee x \in A \Longleftrightarrow x \in B \cup A\)

Di conseguenza:

1) \(\displaystyle (x \in A \cup B \Longrightarrow x \in B \cup A) \Longrightarrow A \cup B \subseteq B \cup A\)

2) \(\displaystyle (x \in B \cup A \Longrightarrow x \in A \cup B) \Longrightarrow B \cup A \subseteq A \cup B\)

Perciò \(\displaystyle A \cup B = B \cup A \)

Si ringraziano solaal, gugo82 e G.D. per la comprensione mostrata

[solaàl]

Se la definizione di \(A\cup B\) è "un elemento sta lì dentro se sta in uno o nell'altro insieme", questa definizione è chiaramente simmetrica: la proprietà che definisce \(A\cup B\) è \(\{x\mid x\in A\lor x\in B\}\), e vedi bene che la proprietà \(\phi_1(x)=x\in A\lor x\in B\) e la proprietà \(\phi_2(x)=x\in B\lor x\in A\) sono esattamente la stessa (nel senso che una è vera se e solo se lo è l'altra).

[gugo82]

Scusate, ma quale sarebbe il significato di $(x in A) uu B$?

[G.D.5]

Si può utilizzare la strategia della doppia inclusione per dimostrare una uguaglianza, non una equivalenza.

Ciò detto, senza offesa e detto con simpatia come si farebbe tra vecchi amici: le formule sono scritte in modo barbaro. Per esempio: il simbolo $\cup$ lega gli insiemi e $x \in A$ non è un insieme.

Posto ciò, come detto da solàal, siamo ad un livello così basilare che bastano le leggi logiche per provare quelle insiemistiche. Essendo commutativa \(\lor\) le formule \(x \in A \lor x \in B\) e \(x \in B \lor x \in A\) sono equivalenti, sicché:

\[x \in A \cup B \iff x \in A \lor x \in B \iff x \in B \lor x \in A \iff x \in B \cup A\]

al che \( x \in A \cup B \implies x \in B \cup A\) ti dà l'inclusione \( A \cup B \subseteq B \cup A \) e \( x \in B \cup A \implies x \in A \cup B\) ti dà l'inclusione \( B \cup A \subseteq A \cup B\).

[5y5t3m]

G.D. hai ragione per gli errori presenti nel mio testo. Li ho corretti.

[5y5t3m]

"gugo82":Scusate, ma quale sarebbe il significato di $(x in A) uu B$?

Volevo mostrare che x apparteneva prima ad A e in seguito all'insieme unione di A e B.

[gugo82]

"5y5t3m":[quote="gugo82"]Scusate, ma quale sarebbe il significato di $(x in A) uu B$?

Volevo mostrare che x apparteneva prima ad A e in seguito all'insieme unione di A e B.[/quote]
Ma sei conscio che la stringa di simboli che hai scritto non ha nessun significato?
Cioè che $(x in A) uu B$ non significa nulla?

E sai che il primo requisito di una frase (non solo di una frase matematica, ma anche in qualsiasi altro linguaggio) è quello di avere un significato?

Quindi, per favore, non usare simboli a caso, ma cerca di fare in modo che quei simboli che usi significhino ciò che intendi esprimere.

[G.D.5]

"5y5t3m":
Posso dire che \(\displaystyle A \cup B \supseteq B \cup A\) perché non so come si comporta l'unione di \(\displaystyle B \cup A \ni x\) (ipotizzando la possibile perdita dell'elemento \(\displaystyle x\) visto che l'operazione non è "diretta" come nel caso di \(\displaystyle x \in (A \cup B)\)?

1. Continui a scrivere delle stringhe di simboli che non sono delle formule ben formate.
2. Non ho capito cos'è che non ti quadra. Che significa "perdita dell'elemento"? Che significa "operazione diretta"? Che significa che non sai come si comporta l'unione?

[5y5t3m]

"G.D.":[quote="5y5t3m"]
Posso dire che \(\displaystyle A \cup B \supseteq B \cup A\) perché non so come si comporta l'unione di \(\displaystyle B \cup A \ni x\) (ipotizzando la possibile perdita dell'elemento \(\displaystyle x\) visto che l'operazione non è "diretta" come nel caso di \(\displaystyle x \in (A \cup B)\)?

1. Continui a scrivere delle stringhe di simboli che non sono delle formule ben formate.
2. Non ho capito cos'è che non ti quadra. Che significa "perdita dell'elemento"? Che significa "operazione diretta"? Che significa che non sai come si comporta l'unione?[/quote]


Io non posso correggere

"gugo82":[quote="5y5t3m"][quote="gugo82"]Scusate, ma quale sarebbe il significato di $ (x in A) uu B $?

Volevo mostrare che x apparteneva prima ad A e in seguito all'insieme unione di A e B.[/quote]
Ma sei conscio che la stringa di simboli che hai scritto non ha nessun significato?
Cioè che $ (x in A) uu B $ non significa nulla?

E sai che il primo requisito di una frase (non solo di una frase matematica, ma anche in qualsiasi altro linguaggio) è quello di avere un significato?

Quindi, per favore, non usare simboli a caso, ma cerca di fare in modo che quei simboli che usi significhino ciò che intendi esprimere.[/quote]

Si infatti, volevo essere "preciso" senza risultato
Vabuon migliorerò.

[solaàl]

Anche perché peggiorare mi pare difficile

[5y5t3m]

"G.D.":[quote="5y5t3m"]
Posso dire che \(\displaystyle A \cup B \supseteq B \cup A\) perché non so come si comporta l'unione di \(\displaystyle B \cup A \ni x\) (ipotizzando la possibile perdita dell'elemento \(\displaystyle x\) visto che l'operazione non è "diretta" come nel caso di \(\displaystyle x \in (A \cup B)\)?

1. Continui a scrivere delle stringhe di simboli che non sono delle formule ben formate.
2. Non ho capito cos'è che non ti quadra. Che significa "perdita dell'elemento"? Che significa "operazione diretta"? Che significa che non sai come si comporta l'unione?[/quote]

Lo so che le stringhe non sono ben formate ma non posso cancellare l'idea iniziale del mio messaggio.

Le domande del punto 2. c'erano anche prima. Non riuscivo a capire come ottenere il simbolo \(\displaystyle \supseteq \) (lasciamo stare perché credo di aver capito). Allora correggo il messaggio iniziale scrivendo la dimostrazione data da G.D. così rimane per altri utenti.

[5y5t3m]

"solaàl":Anche perché peggiorare mi pare difficile

Non c'è limite al peggio. Però prendiamo spunto per migliorare (forse)

[5y5t3m]

"G.D.":Si può utilizzare la strategia della doppia inclusione per dimostrare una uguaglianza, non una equivalenza.

Ciò detto, senza offesa e detto con simpatia come si farebbe tra vecchi amici: le formule sono scritte in modo barbaro. Per esempio: il simbolo $\cup$ lega gli insiemi e $x \in A$ non è un insieme.

Posto ciò, come detto da solàal, siamo ad un livello così basilare che bastano le leggi logiche per provare quelle insiemistiche. Essendo commutativa \(\lor\) le formule \(x \in A \lor x \in B\) e \(x \in B \lor x \in A\) sono equivalenti, sicché:

\[x \in A \cup B \iff x \in A \lor x \in B \iff x \in B \lor x \in A \iff x \in B \cup A\]

al che \( x \in A \cup B \implies x \in B \cup A\) ti dà l'inclusione \( A \cup B \subseteq B \cup A \) e \( x \in B \cup A \implies x \in A \cup B\) ti dà l'inclusione \( B \cup A \subseteq A \cup B\).

Ho corretto bene il messaggio iniziale?

[G.D.5]

In 1) e 2) cambia \( \iff \) con \( \implies \): la commutatività di \( \lor \) ti dà le implicazioni tra le appartenenze che hai messo tra parentesi e queste a loro volta le inclusioni. Le implicazioni verso sinistra \( \Longleftarrow \) che compongo (assieme a quelle verso destra) i \( \iff \) dipendono dal fatto che siano state provate le inclusioni, essendo semplicemente ciò che l'inclusione è per definizione, ma, a rigore, tu è proprio l'inclusione che vuoi provare, quindi non puoi assumere che essa già valga.

Edit.
Comunque non c'era bisogno di modificare il tuo messaggio iniziale. Anzi: diciamo che a parte le modifiche per gli errori di battitura, sarebbe meglio non modificarli proprio i messaggi, al fine di non perdere il senso della discussione.

[5y5t3m]

"G.D.":In 1) e 2) cambia \( \iff \) con \( \implies \): la commutatività di \( \lor \) ti dà le implicazioni tra le appartenenze che hai messo tra parentesi e queste a loro volta le inclusioni. Le implicazioni verso sinistra \( \Longleftarrow \) che compongo (assieme a quelle verso destra) i \( \iff \) dipendono dal fatto che siano state provate le inclusioni, essendo semplicemente ciò che l'inclusione è per definizione, ma, a rigore, tu è proprio l'inclusione che vuoi provare, quindi non puoi assumere che essa già valga.

Edit.
Comunque non c'era bisogno di modificare il tuo messaggio iniziale. Anzi: diciamo che a parte le modifiche per gli errori di battitura, sarebbe meglio non modificarli proprio i messaggi, al fine di non perdere il senso della discussione.

Correzione effettuata. Ok allora in seguito lascerò stare quello che scrivo.