Dimostrazione prodotto in Q
Salve a tutti, condivido un mio problema nella speranza che qualcuno possa aiutarmi a capire come affrontare dimostrazioni di questo tipo!
definita in Q = Z x Z* un operazione di prodotto, posto
(x,y) * (x^1,y^1) := (xx^1,yy^1)
dimostrare che l'operazione è ben definita, cioè che il risultato non dipende dalla scelta dei rappresentanti.
Sapendo che la relazione in Q è definita come (x,y) \(\backsim \) (x^1,y^1) se e solo se xy^1=yx^1
Per la dimostrazione della Somma non ho avuto grossi problemi, ma per il prodotto non riesco a venirne a capo!
Grazie
Lorenzo
definita in Q = Z x Z* un operazione di prodotto, posto
(x,y) * (x^1,y^1) := (xx^1,yy^1)
dimostrare che l'operazione è ben definita, cioè che il risultato non dipende dalla scelta dei rappresentanti.
Sapendo che la relazione in Q è definita come (x,y) \(\backsim \) (x^1,y^1) se e solo se xy^1=yx^1
Per la dimostrazione della Somma non ho avuto grossi problemi, ma per il prodotto non riesco a venirne a capo!
Grazie
Lorenzo
Risposte
"lorenzoasr":CIa0 Lorenzo.
Salve a tutti,...
definita in \(\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\)...
Calma: quello non è \(\mathbb{Q}\)! Ci manca la relazione di equivalenza \(\sim\) tale che... (non sto qui a ripeterla)
Sistemato ciò, riesci a concludere?
Prendi due coppie di elementi nella stessa classe e lavori:
$ (a,b)~ (a',b') , (c,d)~ (c',d') Rightarrow (a',b')(c',d')=(a'c',b'd'), (a,b)(c,d)=(ac,bd)$.
$(a',b')(c',d')~(a,b)(c,d) Leftrightarrow (a'c',b'd')~(ac,bd) Rightarrow a'c'bd=a'bc'd=ab'cd'=acb'd'$ Vero!
$ (a,b)~ (a',b') , (c,d)~ (c',d') Rightarrow (a',b')(c',d')=(a'c',b'd'), (a,b)(c,d)=(ac,bd)$.
$(a',b')(c',d')~(a,b)(c,d) Leftrightarrow (a'c',b'd')~(ac,bd) Rightarrow a'c'bd=a'bc'd=ab'cd'=acb'd'$ Vero!
"lorenzoasr":
Sapendo che la relazione in Q è definita come (x,y) \(\backsim \) (x^1,y^1) se e solo se xy^1=yx^1
Ciao j18eos!
Non è questa che ho quotato la relazione di equivalenza per la costruzione di Q a partire da Z ?
Grazie innanzitutto per la risposta,
Sicuramente è tutto corretto, ma non riesco però a interpretare i passaggi che hai svolto !
Se potessi esplicitare il tutto, tene sarei grato,
Lorenzo
"Maci86":
Prendi due coppie di elementi nella stessa classe e lavori:
$ (a,b)~ (a',b') , (c,d)~ (c',d') Rightarrow (a',b')(c',d')=(a'c',b'd'), (a,b)(c,d)=(ac,bd)$.
$(a',b')(c',d')~(a,b)(c,d) Leftrightarrow (a'c',b'd')~(ac,bd) Rightarrow a'c'bd=a'bc'd=ab'cd'=acb'd'$ Vero!
Sicuramente è tutto corretto, ma non riesco però a interpretare i passaggi che hai svolto !
Se potessi esplicitare il tutto, tene sarei grato,
Lorenzo
Te la faccio lunga, ufff 
Eheheh!
$(a,b) , (a',b') , (c,d) , (c',d') in ZZxxZZ_0 : (a,b)~ (a',b') , (c,d)~ (c',d')$
Ora abbiamo due coppie di elementi che appartengono ad una propria classe, svolgiamo la moltiplicazione:
$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$
$(a',b')(c',d')=(a'c',b'd')$
Dobbiamo dimostrare che vanno nella stessa classe:
$a'c'bd=a'bc'd=ab'cd'=acb'd' Rightarrow (a'c',b'd')~(ac,bd) Rightarrow (a',b')(c',d')~(a,b)(c,d) $.
Cosa mi dici? Più chiaro?
Eheheh!$(a,b) , (a',b') , (c,d) , (c',d') in ZZxxZZ_0 : (a,b)~ (a',b') , (c,d)~ (c',d')$
Ora abbiamo due coppie di elementi che appartengono ad una propria classe, svolgiamo la moltiplicazione:
$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$
$(a',b')(c',d')=(a'c',b'd')$
Dobbiamo dimostrare che vanno nella stessa classe:
$a'c'bd=a'bc'd=ab'cd'=acb'd' Rightarrow (a'c',b'd')~(ac,bd) Rightarrow (a',b')(c',d')~(a,b)(c,d) $.
Cosa mi dici? Più chiaro?
@Maci86 mi permetto di invitarti a leggere il regolamento, articolo 1 punto 2!
@lorenzoasr è tutto un gioco sulla proprietà associativa del prodotto di numeri interi!
@lorenzoasr è tutto un gioco sulla proprietà associativa del prodotto di numeri interi!
Così già va moolto meglio
Fino a qui non fa una piega!
Qui che fai invece? Non ho capito questo passaggio! Perdonami
Purtroppo ancora non padroneggio la materia, e ho alcune lacune di Logica, spero tu non abbia esaurito la pazienza!
Grazie ancora
"Maci86":
Te la faccio lunga, ufff
$(a,b) , (a',b') , (c,d) , (c',d') in ZZxxZZ_0 : (a,b)~ (a',b') , (c,d)~ (c',d')$
Ora abbiamo due coppie di elementi che appartengono ad una propria classe, svolgiamo la moltiplicazione:
$(a,b)(c,d)=(ac,bd)$
$(a',b')(c',d')=(a'c',b'd')$
Fino a qui non fa una piega!
"Maci86":
Dobbiamo dimostrare che vanno nella stessa classe:
$a'c'bd=a'bc'd=ab'cd'=acb'd'$
Qui che fai invece? Non ho capito questo passaggio! Perdonami
"Maci86":
$Rightarrow (a'c',b'd')~(ac,bd) Rightarrow (a',b')(c',d')~(a,b)(c,d) $.
Cosa mi dici? Più chiaro?
Purtroppo ancora non padroneggio la materia, e ho alcune lacune di Logica, spero tu non abbia esaurito la pazienza!
Grazie ancora
Ok, ora è tutto chiaro !
Ti spiego dov'era il mio dubbio.
Nel dimostrare la Somma in Q (ma anche in Z) io opero come segue:
Ricordando la relazione costruttiva di Q a partire da Z:
$ (a,b) rho (c,d) \Leftrightarrow ad = bc $
Posti $ (a,b),(c,d) in rho $ avremo che la somma sarà definita come:
$ (a,b) + (c,d) := (ad + bc, bd ) $
Posto $ (a,b) rho (a',b')$ e $(c,d) rho (c',d') $ , la cui somma è $(a',b') + (c',d') := (a'd' + b'c', b'd' )$
Voglio verificare che effettivamente anche $(ad + bc, bd ) rho (a'd' + b'c', b'd')$
A questo proposito esplicito le relazioni precedenti:
1 - $ (a,b) rho (a',b') rightarrow ab' = a'b rightarrow a/b = (a')/(b') $
2 - $ (c,d) rho (c',d') rightarrow cd' = c'd rightarrow c/d = (c')/(d') $
3 - $(ad + bc, bd ) rho (a'd' + b'c', b'd') rightarrow (ad + bc)(b'd') = (a'd' + b'c')(bd) $
Ora, sommando membro a membro la 1 e la 2, ottengo:
$a/b + c/d = (a')/(b') + (c')/(d')$
$(ad+cb)/(bd) = (a'd' + c'b')/(b'd')$
$(ad + bc)(b'd') = (a'd' + c'b')(bd)$
che è proprio la relazione 3 !
In pratica nella dimostrazione per il Prodotto si segue lo stesso ragionamento, con la sola eccezione che mentre qui sommo membro a membro la 1 e la 2, nel nostro caso si moltiplica membro a membro, giusto ?
Magari con l'occasione, se notate qualche errore/imprecisione nella dimostrazione che ho svolto, fatemelo notare grazie!
Ti spiego dov'era il mio dubbio.
Nel dimostrare la Somma in Q (ma anche in Z) io opero come segue:
Ricordando la relazione costruttiva di Q a partire da Z:
$ (a,b) rho (c,d) \Leftrightarrow ad = bc $
Posti $ (a,b),(c,d) in rho $ avremo che la somma sarà definita come:
$ (a,b) + (c,d) := (ad + bc, bd ) $
Posto $ (a,b) rho (a',b')$ e $(c,d) rho (c',d') $ , la cui somma è $(a',b') + (c',d') := (a'd' + b'c', b'd' )$
Voglio verificare che effettivamente anche $(ad + bc, bd ) rho (a'd' + b'c', b'd')$
A questo proposito esplicito le relazioni precedenti:
1 - $ (a,b) rho (a',b') rightarrow ab' = a'b rightarrow a/b = (a')/(b') $
2 - $ (c,d) rho (c',d') rightarrow cd' = c'd rightarrow c/d = (c')/(d') $
3 - $(ad + bc, bd ) rho (a'd' + b'c', b'd') rightarrow (ad + bc)(b'd') = (a'd' + b'c')(bd) $
Ora, sommando membro a membro la 1 e la 2, ottengo:
$a/b + c/d = (a')/(b') + (c')/(d')$
$(ad+cb)/(bd) = (a'd' + c'b')/(b'd')$
$(ad + bc)(b'd') = (a'd' + c'b')(bd)$
che è proprio la relazione 3 !
In pratica nella dimostrazione per il Prodotto si segue lo stesso ragionamento, con la sola eccezione che mentre qui sommo membro a membro la 1 e la 2, nel nostro caso si moltiplica membro a membro, giusto ?
Magari con l'occasione, se notate qualche errore/imprecisione nella dimostrazione che ho svolto, fatemelo notare grazie!
Prima parte uso il fatto che sia commutativo:
$a'c'bd=a'(c'b)d=a'(bc')d=a'bc'd$
Qui uso l'equivalenza sulle due copie:
$(a'b)c'd=(ab')c'd=ab'(c'd)=ab'(cd')=a(b'c)d'=acb'd'$
Prova a spiegarmi quello che ho fatto a parole tue e vediamo se hai capito!
$a'c'bd=a'(c'b)d=a'(bc')d=a'bc'd$
Qui uso l'equivalenza sulle due copie:
$(a'b)c'd=(ab')c'd=ab'(c'd)=ab'(cd')=a(b'c)d'=acb'd'$
Prova a spiegarmi quello che ho fatto a parole tue e vediamo se hai capito!
Ciao,
purtroppo non mi è molto chiaro, provo a scriverlo in maniera estesa, dimmi se ho frainteso!
tu prendi $(ac,bd) rho (a'c',b'd') rightarrow acb'd' = a'c'bd$ sfruttando la relazione di costruzione di Q
poi abbiamo
1 - $(a,b) rho (a',b') rightarrow ab' = a'b $
2 - $(c,d) rho (c',d') rightarrow cd' = c'd $
Moltiplichi la 1 e 2 membro a membro:
$ab'cd' = a'bc'd $
Ora sfrutto la commutatività del prodotto: $ab'cd' = a'bc'd rightarrow a(b'c)d' = a'(bc')d rightarrow a(cb')d' = a'(c'b)d$
E quindi $acb'd' = a'c'bd rightarrow (ac,bd) rho (a'c',b'd')$
Che è proprio quello che volevamo dimostrare!
purtroppo non mi è molto chiaro, provo a scriverlo in maniera estesa, dimmi se ho frainteso!
tu prendi $(ac,bd) rho (a'c',b'd') rightarrow acb'd' = a'c'bd$ sfruttando la relazione di costruzione di Q
poi abbiamo
1 - $(a,b) rho (a',b') rightarrow ab' = a'b $
2 - $(c,d) rho (c',d') rightarrow cd' = c'd $
Moltiplichi la 1 e 2 membro a membro:
$ab'cd' = a'bc'd $
Ora sfrutto la commutatività del prodotto: $ab'cd' = a'bc'd rightarrow a(b'c)d' = a'(bc')d rightarrow a(cb')d' = a'(c'b)d$
E quindi $acb'd' = a'c'bd rightarrow (ac,bd) rho (a'c',b'd')$
Che è proprio quello che volevamo dimostrare!
Esatto!
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