Dimostrazione prodotto ben definito in $\mathbb{Z}$

[pasqualeq]

Ciao a tutti e tutte.
Ho trovato questo forum cercando sul web una risposta ad una questione che non riesco a risolvere, e spero di non annoiarvi con un argomento banale che non sono riuscito a trovare effettuando una ricerca.

Si tratta di una dimostrazione, ovvero del fatto che il prodotto definito su $\mathbb{Z}$ attraverso le classi di equivalenza ed i loro rappresentanti privilegiati è indipendente appunto dalla scelta di questi ultimi.

Se per definizione si ha:
\[
(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + c \cdot b),
\]
se scelgo due rappresentanti differenti per le due classi di equivalenza:
\[
(a, b) \, \rho \, (a', b') \Leftrightarrow a + b' = a' + b \\
(c, d) \, \rho \, (c', d') \Leftrightarrow c + d' = c' + d
\]
allora devo dimostrare che anche il prodotto è in relazione di equivalenza:
\[
(a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + c \cdot b) \, \rho \, (a' \cdot c' + b' \cdot d', a' \cdot d' + c' \cdot b').
\]
Quindi se ho capito bene deve risultare:
\[
(a \cdot c + b \cdot d) + (a' \cdot d' + c' \cdot b') = (a' \cdot c' + b' \cdot d') + (a \cdot d + c \cdot b).
\]
Come faccio a procedere con la dimostrazione? Il libro di Algebra della Statale di Milano lo dà come esercizio. Cercando uno spunto ho visto che si parte dal moltiplicare membro a membro le uguaglianze delle due classi di equivalenza, quindi:
\[
(a + b') \cdot (c + d') = (a' + b) \cdot (c' + d)
\]
ma facendo tutti i calcoli non riesco a raggiungere la condizione di uguaglianza che mostra i prodotti in relazione fra loro.

Posso chiedere un suggerimento a riguardo?

Scusate se non ho rispettato qualche regola del forum, sono pronto a fare le modifiche del caso al post.
Grazie mille per un eventuale aiuto.

[megas_archon]

E' certamente più semplice mostrare che se \((a,b)\,\rho\,(a',b')\) allora \((a,b)(c,d)\,\rho\,(a',b')(c,d)\), e la stessa cosa dall'altro lato: questo è equivalente a mostrare che \(\rho\) è una congruenza, perché è transitiva. Questo fatto equivale a mostrare che \(c a'+a d+d b'+b c=d a'+a c+c b'+b d\), che è vera, raccogliendo: significa che \(c(a'+b)+d(a+b')=c(a+b')+d(a'+b)\), chiaramente vera. Similmente per la dimostrazione che se \((c,d)\,\rho\,(c',d')\) allora \((a,b)(c,d)\,\rho\,(a,b)(c',d')\), fallo tu.

[pasqualeq]

"megas_archon":E' certamente più semplice mostrare che se \((a,b)\,\rho\,(a',b')\) allora \((a,b)(c,d)\,\rho\,(a',b')(c,d)\), e la stessa cosa dall'altro lato: questo è equivalente a mostrare che \(\rho\) è una congruenza, perché è transitiva. Questo fatto equivale a mostrare che \(c a'+a d+d b'+b c=d a'+a c+c b'+b d\), che è vera, raccogliendo: significa che \(c(a'+b)+d(a+b')=c(a+b')+d(a'+b)\), chiaramente vera. Similmente per la dimostrazione che se \((c,d)\,\rho\,(c',d')\) allora \((a,b)(c,d)\,\rho\,(a,b)(c',d')\), fallo tu.

Ti ringrazio per il tuo suggerimento e scusa se rispondo solo ora. Considera che questo tipo di esercizio di dimostrazione viene richiesto molto prima di introdurre il concetto di congruenza, per cui evidentemente ci sarà un differente metodo per mostrare che il prodotto è ben definito in $\mathbb{Z}$.

Non sono ancora riuscito a trovare la soluzione.

[megas_archon]

Mostrare "la buona definizione del prodotto" significa esattamente mostrare che \(\rho\) è una congruenza (rispetto al prodotto). Questa dimostrazione si fa nel modo che ti ho detto, facendo precisamente il conto che ho scritto.