Dimostrazione permutazioni

[duombo]

Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in un esercizio la cui traccia è

Si consideri la funzione $\alpha:ZZ_11->ZZ_11$ definita da $AA x \in ZZ_11 \alpha(x):=bar(4)x^2-bar(3)x^7$

provare che $\alpha$ è una permutazione di $ZZ_11$

io pensavo di risolverlo in questo modo:
dal momento che x può assumere valori da 0 a 10, faccio 10 sostituzioni di x e vedo a quanto equivale il risultato in $ZZ_11$ ad esempio:

per $x=0 -> \alpha(x)=0$
per $x=1 ->\alpha(x)=1$
per $x=2 ->\alpha(x)=6$

e così via, in questo modo ho trovato la permutazione, vi sembra corretto?

grazie mille per il vostro aiuto

[Studente Anonimo]

Sì è corretto.

[Stickelberger]

Si potrebbe evitare l’enumerazione come segue.
Non so se valga la pena, ma forse si vede come e’ stato
imbastito questo esercizio.

Prima si osserva che $\alpha$ manda $0$ in $0$. E poi si
considera il gruppo degli elementi non nulli $ZZ_{11}^{\times}= ZZ_{11}-\{0\}$.

Ogni $x\in ZZ_{11}^{\times}$ soddisfa $x^{10}=1$ e quindi $x^5=\pm 1$.
Infatti, il gruppo $ZZ_{11}^{\times}$ e’ unione disgiunta del sottogruppo
dei quadrati $Q=\{x\in ZZ_{11}: x^5=1\}$ e la sua classe laterale
dei non quadrati $N=\{x\in ZZ_{11}: x^5=-1\}$.

Ora, per $x\in Q$ si ha che $\alpha(x)=4x^2-3x^2=x^2$.
E quindi la restrizione di $\alpha$ a $Q$ e’ una biiezione $Q\rightarrow Q$.

Similmente, per $x\in N$ si ha che $\alpha(x)=4x^2+3x^2=7x^2$.
Dal fatto che $7$ non e’ un quadrato modulo $11$ segue che
$\alpha$ manda $N$ in se stesso. Dal fatto che $-1$ non e’ un quadrato
modulo $11$ segue che $\alpha$ e' una biiezione $N\rightarrow N$.

[duombo]

grazie mille ragazzi sempre gentilissimi!!