Dimostrazione per induzione: una banalità che non capisco
Ciao a tutti, stavo svolgendo una semplice dimostrazione per induzione, ma leggendo la soluzione proposta non capisco un semplicissimo passaggio algebrico. Il problema in questione è il seguente:
"Calcolare la somma di tutti i numeri dispari compresi tra 100 e 1000" .
La mia soluzione è sostanzialmente uguale a questa che sto per scrivere, salvo per l'ultima uguaglianza, che è quella che non riesco a comprendere:
Consideriamo il primo e l'ultimo numero dispari appartenenti all'insieme:
Primo numero dispari: 101 = 2*51-1
Ultimo numero dispari: 999 = 2*500-1
Il valore cercato è quindi:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^K (2i-1) = \sum_{i=0}^K (2i-1) - \sum_{i=0}^J (2i-1) = 500^2 - 50^2 \)
con K = 500 e J = 50 .
Non capisco perchè ci vogliano i quadrati nell'ultima uguaglianza... So che si tratta di un problema banale, ma sono ore che non ne capisco il motivo!
Grazie in anticipo
"Calcolare la somma di tutti i numeri dispari compresi tra 100 e 1000" .
La mia soluzione è sostanzialmente uguale a questa che sto per scrivere, salvo per l'ultima uguaglianza, che è quella che non riesco a comprendere:
Consideriamo il primo e l'ultimo numero dispari appartenenti all'insieme:
Primo numero dispari: 101 = 2*51-1
Ultimo numero dispari: 999 = 2*500-1
Il valore cercato è quindi:
\(\displaystyle \sum_{i=0}^K (2i-1) = \sum_{i=0}^K (2i-1) - \sum_{i=0}^J (2i-1) = 500^2 - 50^2 \)
con K = 500 e J = 50 .
Non capisco perchè ci vogliano i quadrati nell'ultima uguaglianza... So che si tratta di un problema banale, ma sono ore che non ne capisco il motivo!
Grazie in anticipo
Risposte
Dobbiamo trovare quanto vale $sum_{i=51}^{500} (2i-1)$.
Il metodo che stai affrontando tu non è usare l'induzione, ma sfruttare alcune proprietà delle sommatorie:
Il metodo che stai affrontando tu non è usare l'induzione, ma sfruttare alcune proprietà delle sommatorie:
[*:1m1oaasi]presi $j,k$ interi con $j
$sum_{i=1}^b (2i-1)= 2*sum_{i=1}^b i - sum_{i=1}^b 1= 2*[(b*(b+1))/2]-b= b(b+1)-b= b[b+1-1]= b^2$
N.B.: questo vuol dire che la somma dei primi $n$ numeri dispari dà $n^2$.[/*:m:1m1oaasi][/list:u:1m1oaasi]
A te collegare il tutto
Ti ringrazio molto, visto così l'esercizio è anche abbastanza fuori dal contesto (il capito si chiama "dimostrazioni per induzione"), ma ora mi è chiaro, basta applicare la proprietà che mi hai scritto tu alle mie due sommatorie, traducendo il tutto nel seguente modo:
\( \displaystyle \sum_{i=0}^{500} (2i-1) = \sum_{i=0}^{500} (2i-1) - \sum_{i=0}^{50} (2i-1) = \)
\( \displaystyle = (2*\sum_{i=1}^{500} i - \sum_{i=1}^{500} 1) - (2*\sum_{i=1}^{50} i - \sum_{i=1}^{50} 1) = \)
\( \displaystyle= \{2*[(500*(500+1))/2]-500\} - \{2*[(50*(50+1))/2]-50\} = \)
\( \displaystyle= [500(500+1)-500] - [50(50+1)-50] = 500^2 - 50^2\)
Che altri non è che la soluzione proposta dal testo.
Grazie mille!
\( \displaystyle \sum_{i=0}^{500} (2i-1) = \sum_{i=0}^{500} (2i-1) - \sum_{i=0}^{50} (2i-1) = \)
\( \displaystyle = (2*\sum_{i=1}^{500} i - \sum_{i=1}^{500} 1) - (2*\sum_{i=1}^{50} i - \sum_{i=1}^{50} 1) = \)
\( \displaystyle= \{2*[(500*(500+1))/2]-500\} - \{2*[(50*(50+1))/2]-50\} = \)
\( \displaystyle= [500(500+1)-500] - [50(50+1)-50] = 500^2 - 50^2\)
Che altri non è che la soluzione proposta dal testo.
Grazie mille!
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