Dimostrazione per induzione matematica

[mrx888]

Salve! Chiedo il vostro aiuto nel risolvere il seguente esercizio:
Dimostrare, per induzione matematica, la seguente proprietà:

\( \displaystyle ((1+q)(1+q^2)...(1+(q^2)^n)=(1-(q^2)^{n+1})/(1-q) \)

per ogni n>= 0, e per ogni q != 1

Nella dimostrazione del passo induttivo arrivo al punto in cui:

\(\displaystyle ((1-(q^2)^{n+1})/(1-q))*(1+(q^2)^{n+1}) \)

\( \displaystyle ((1-(q^2)^{n+2})/(1-q)) \)che è uguale a:

\(\displaystyle ((1-(q^2)^{2n+2})/(1-q)) \)

mentre la tesi è:

\(\displaystyle ((1-(q^2)^{n+2})/(1-q)) \)

sono diverse per quel "2n". Quindi, in conclusione, cosa mi sfugge?

[vict85]

C'è qualcosa di strano perché supposto \(q = 2\) si ha che:

\begin{align} (1+q)(1+q^2)\bigl(1+(q^2)^2\bigr) &= \frac{(q^2)^{3} - 1}{q-1} \\
(1+2)(1+ 4)(1+ 16) &= 64 - 1 \\
3\cdot 5 \cdot 17 &= 63 \\
225 &\neq 63 \\
\end{align}

[Frink1]

Neppure per tre, sembrerebbe valere solo per $ q=0 $