Dimostrazione per induzione insoluta.
Non riesco a sviluppare la seguente dimostrazione per induzione:
$ AA n >= 0 2^(n+2)+3^(2n+1)$ è multiplo di 7.
Ora Il passo base è $ P(0) = 2^(0+2)+3^(2*0+1) = 2^2+3^1 = 7$ ed è verificato
Il passo induttivo: Poniamo vera $ P(n)=2^(n+2)+3^(2n+1) = 7*h$ con $hinZ$
quindi $ P(n+1)= 2^(n+3) + 3^(2(n+1)+1)$
Ora tutto sta nel ricondurre questo alla P(n) che abbiamo supposta vera, in modo da poterla verificare. Ma ci abbiamo provato per ore, in 3 persone, senza riuscirci.
$ AA n >= 0 2^(n+2)+3^(2n+1)$ è multiplo di 7.
Ora Il passo base è $ P(0) = 2^(0+2)+3^(2*0+1) = 2^2+3^1 = 7$ ed è verificato
Il passo induttivo: Poniamo vera $ P(n)=2^(n+2)+3^(2n+1) = 7*h$ con $hinZ$
quindi $ P(n+1)= 2^(n+3) + 3^(2(n+1)+1)$
Ora tutto sta nel ricondurre questo alla P(n) che abbiamo supposta vera, in modo da poterla verificare. Ma ci abbiamo provato per ore, in 3 persone, senza riuscirci.
Risposte
Se non ho sbagliato i conti, dovrebbe essere:
$2^{n+3}+3^{2n+3}=2\cdot (2^{n+2}+3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}$
Se vuoi ti posto i passaggi.
$2^{n+3}+3^{2n+3}=2\cdot (2^{n+2}+3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}$
Se vuoi ti posto i passaggi.
"cirasa":
Se non ho sbagliato i conti, dovrebbe essere:
$2^{n+3}+3^{2n+3}=2\cdot (2^{n+2}+3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}$
Se vuoi ti posto i passaggi.
Si mi sarebbe gradito
Domanda, se posso: Nelle dimostrazioni per induzioni mi trovo molto impacciato. Roba che ogni esercizio che è leggermente diverso mi ci blocco sopra per ore, e ammesso che riesco a risolverlo ci metto comunque troppo tempo.
Tra l'altro oggi eravamo in piu di una persona a provare a fargli, probabilmente ci manca il meccanismo, o la chiave di lettura dell'esercizio, perchè alla fine si riduce tutto a calcoli piuttosto elementari.
Come posso fare ad imparare bene il metodo, a parte fare esercizi su esercizi? Che ne so qualche link dove sono dimostrati piu esercizi in modo che posso svilupparli ed in caso confrontarmi, o dove imparare "i vari trucchetti" di riduzione eccetera eccetera? Cosa mi consigliereste?
Tra l'altro oggi eravamo in piu di una persona a provare a fargli, probabilmente ci manca il meccanismo, o la chiave di lettura dell'esercizio, perchè alla fine si riduce tutto a calcoli piuttosto elementari.
Come posso fare ad imparare bene il metodo, a parte fare esercizi su esercizi? Che ne so qualche link dove sono dimostrati piu esercizi in modo che posso svilupparli ed in caso confrontarmi, o dove imparare "i vari trucchetti" di riduzione eccetera eccetera? Cosa mi consigliereste?
Per $n=0$ è ok.
Proviamo il passo induttivo. Supponiamo che la tesi valga per $n$, cioè che $2^{n+2}+3^{2n+1}$ sia multiplo di $7$.
Devo provare che $2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}=2^{n+3}+3^{2n+3}$ è multiplo di $7$.
Si ha che
$2^{n+3}+3^{2n+3}=2\cdot 2^{n+2}+3^2\cdot 3^{2n+1}=$
$=2\cdot 2^{n+2}+9\cdot 3^{2n+1}=2\cdot (2^{n+2}+\cdot 3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}$.
Tenendo conto dell'ipotesi induttiva, perchè quest'ultimo numero è divisibile per $7$?
Proviamo il passo induttivo. Supponiamo che la tesi valga per $n$, cioè che $2^{n+2}+3^{2n+1}$ sia multiplo di $7$.
Devo provare che $2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}=2^{n+3}+3^{2n+3}$ è multiplo di $7$.
Si ha che
$2^{n+3}+3^{2n+3}=2\cdot 2^{n+2}+3^2\cdot 3^{2n+1}=$
$=2\cdot 2^{n+2}+9\cdot 3^{2n+1}=2\cdot (2^{n+2}+\cdot 3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}$.
Tenendo conto dell'ipotesi induttiva, perchè quest'ultimo numero è divisibile per $7$?
Vabbè perchè quello che c'è tra parentesi sappiamo già che per ipotesi induttiva è multiplo di 7 e lo è anche moltiplicato per 2. A questo li viene sommato un numero che viene comunque moltiplicato per 7 e quindi due multipli di 7, sommati, danno sempre un multiplo di 7.
Però cavolo io non ci arrivavo a questo, ma nemmeno se mi sparavo.
Però cavolo io non ci arrivavo a questo, ma nemmeno se mi sparavo.
Non ti buttare giù, questi esercizi richiedono solo un po' di esperienza...
In questo caso, ti dico come ho ragionato io. Come a volte accade nelle dimostrazione per induzione, il "trucco" è cercare di ottenere informazioni sul numero al passo $n+1$ data l'ipotesi induttiva
$2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}=2\cdot ( 2^{n+2} )+3^2\cdot 3^{2n+1}$
Come faccio ad ottenere $2^{n+2}+3^{2n+1}$ su cui ho informazioni dall'ipotesi induttiva?
Noto che posso ottenerlo dentro la parentesi, basta aggiungere $3^{2n+1}$! Quindi lo aggiungo (e lo sottraggo così non faccio cambiare niente)
$2\cdot 2^{n+2}+3^2\cdot 3^{2n+1}=2\cdot(2^{n+2}+3^{2n+1}-3^{2n+1})+9\cdot 3^{2n+1}$
Di qui in poi solo conti per ottenere il risultato finale $2\cdot(2^{n+2}+3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}$
Stai tranquillo, vedrai che dopo che avrai fatto molti molti esercizi, affinerai la tecnica...In bocca al lupo!
In questo caso, ti dico come ho ragionato io. Come a volte accade nelle dimostrazione per induzione, il "trucco" è cercare di ottenere informazioni sul numero al passo $n+1$ data l'ipotesi induttiva
$2^{(n+1)+2}+3^{2(n+1)+1}=2\cdot ( 2^{n+2} )+3^2\cdot 3^{2n+1}$
Come faccio ad ottenere $2^{n+2}+3^{2n+1}$ su cui ho informazioni dall'ipotesi induttiva?
Noto che posso ottenerlo dentro la parentesi, basta aggiungere $3^{2n+1}$! Quindi lo aggiungo (e lo sottraggo così non faccio cambiare niente)
$2\cdot 2^{n+2}+3^2\cdot 3^{2n+1}=2\cdot(2^{n+2}+3^{2n+1}-3^{2n+1})+9\cdot 3^{2n+1}$
Di qui in poi solo conti per ottenere il risultato finale $2\cdot(2^{n+2}+3^{2n+1})+7\cdot 3^{2n+1}$
Stai tranquillo, vedrai che dopo che avrai fatto molti molti esercizi, affinerai la tecnica...In bocca al lupo!
Alla fine è quello che sto facendo: Mi sto mettendo e sto facendo esercizi.
Basti dire che oggi la mattina ho avuto lezione, per l'appunto matematica, uscito da lezione alle 14:00 ho mangiato un panzerotto con un amico e ho fatto esercizi di induzione vari. Alle 18:00 sono tornato a casa e mi sono messo a riordinare gli appunti di lezione, fino alle 20:30 circa ed ora, grazie a te ho completato, alle 21:30 l'esercizio che avevo lasciato incompleto. Perchè non è mai bello lasciare le cose a metà
In poche parole dalla mattina alla sera tardi a fare matematica, ed in realtà non ho neanche scalfito il problema
Basti dire che oggi la mattina ho avuto lezione, per l'appunto matematica, uscito da lezione alle 14:00 ho mangiato un panzerotto con un amico e ho fatto esercizi di induzione vari. Alle 18:00 sono tornato a casa e mi sono messo a riordinare gli appunti di lezione, fino alle 20:30 circa ed ora, grazie a te ho completato, alle 21:30 l'esercizio che avevo lasciato incompleto. Perchè non è mai bello lasciare le cose a metà
In poche parole dalla mattina alla sera tardi a fare matematica, ed in realtà non ho neanche scalfito il problema
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