Dimostrazione per induzione che non mi convince assai :O
Vi pongo un altro esercizio (Ok è una dimostrazione) che non mi convince assai:
Dimostrare che $\frac{3^{2n+1}+2^{n+2}}{7} = q$ $, q in NN$
Allora partiamo da $n = 1$
Vi risparmio i conti dicendovi semplicemente che all' ultimo viene $\frac{35}{7} = q -> q = 5$
Ora che abbiamo dimostrato la tesi per la base ($n = 1$) non ci rimane che dimostrare il tutto per $n + 1$ (Assumendo che la tesi sia vera per $n$)
$\frac{ 3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} }{7} = q$ (1)
$3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} = 7q$
$3^{2n+2+1} + 2^{n+1+2} = 7q$
$3^{2} * 3^{2n+1} + 2 * 2^{n+2} = 7q$
$3^{2} * 3^{2n+1} + (9 - 7) * 2^{n+2} = 7q$
$3^{2} * 3^{2n+1} + 3^{2} * 3^{2n+1} - 7 * 2^{n+2} = 7q$
$3^{2} ( 3^{2n+1} + 2^{n+2} ) - 7 * 2^{n+2} = 7q$
Poniamo ora $7k = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$ (2) ottenendo così:
$3^{2} * 7k - 7 * 2^{n+2} = 7q$
$7 ( 3^{2}k - 2^{n+2} ) = 7q$
$( 3^{2}k - 2^{n+2} ) = q$
Ricavandoci il valore di $k$ dalla (2) abbiamo e sostituendo tale valore nella precedente equazione abbiamo:
$3^{2}\frac{ 3^{2n+1} + 2^{n+2} }{7} - 2^{n+2} = q$
$\frac{ 3^{2} * 3^{2n+1} + 3^{2} * 2^{n+2} - 7 * 2^{n+2} }{7} = q$
$\frac{ 3^{2} * 3^{2n+1} + 2^{n+2} ( 3^{2} - 7 )}{7} = q$
$\frac{ 3^{2} * 3^{2n+1} + 2 * 2^{n+2}}{7} = q$
Ottenendo di nuovo la (1) ...
La dimostrazione non mi convince assai, poichè mi sembra di aver fatto prima un passo avanti e poi un passo indietro, un pò come fare $x = e^{x}$ e poi addizionare e sottrarre 1 ad ambo i membri ...
Aiutatemi "pliiis"!
Dimostrare che $\frac{3^{2n+1}+2^{n+2}}{7} = q$ $, q in NN$
Allora partiamo da $n = 1$
Vi risparmio i conti dicendovi semplicemente che all' ultimo viene $\frac{35}{7} = q -> q = 5$
Ora che abbiamo dimostrato la tesi per la base ($n = 1$) non ci rimane che dimostrare il tutto per $n + 1$ (Assumendo che la tesi sia vera per $n$)
$\frac{ 3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} }{7} = q$ (1)
$3^{2(n+1)+1} + 2^{(n+1)+2} = 7q$
$3^{2n+2+1} + 2^{n+1+2} = 7q$
$3^{2} * 3^{2n+1} + 2 * 2^{n+2} = 7q$
$3^{2} * 3^{2n+1} + (9 - 7) * 2^{n+2} = 7q$
$3^{2} * 3^{2n+1} + 3^{2} * 3^{2n+1} - 7 * 2^{n+2} = 7q$
$3^{2} ( 3^{2n+1} + 2^{n+2} ) - 7 * 2^{n+2} = 7q$
Poniamo ora $7k = 3^{2n+1} + 2^{n+2}$ (2) ottenendo così:
$3^{2} * 7k - 7 * 2^{n+2} = 7q$
$7 ( 3^{2}k - 2^{n+2} ) = 7q$
$( 3^{2}k - 2^{n+2} ) = q$
Ricavandoci il valore di $k$ dalla (2) abbiamo e sostituendo tale valore nella precedente equazione abbiamo:
$3^{2}\frac{ 3^{2n+1} + 2^{n+2} }{7} - 2^{n+2} = q$
$\frac{ 3^{2} * 3^{2n+1} + 3^{2} * 2^{n+2} - 7 * 2^{n+2} }{7} = q$
$\frac{ 3^{2} * 3^{2n+1} + 2^{n+2} ( 3^{2} - 7 )}{7} = q$
$\frac{ 3^{2} * 3^{2n+1} + 2 * 2^{n+2}}{7} = q$
Ottenendo di nuovo la (1) ...
La dimostrazione non mi convince assai, poichè mi sembra di aver fatto prima un passo avanti e poi un passo indietro, un pò come fare $x = e^{x}$ e poi addizionare e sottrarre 1 ad ambo i membri ...
Aiutatemi "pliiis"!
Risposte
non so se non ho capito la tesi, ma secondo me la dimostrazione è finita dopo (2), quando sei arrivato a dire che $(9k-2^(2n+2))=q$. non doveva semplicemente essere un intero?
ciao.
ciao.
"adaBTTLS":
non so se non ho capito la tesi, ma secondo me la dimostrazione è finita dopo (2), quando sei arrivato a dire che $(9k-2^(2n+2))=q$. non doveva semplicemente essere un intero?
ciao.
Ma non si sa se $k$ è intero ...
non hai applicato l'ipotesi induttiva?
$(3^(2n+1)+2^(n+2))=7k$...
$(3^(2n+1)+2^(n+2))=7k$...
Hai ragione, ho preso per vera la tesi per $n$ quindi $k$ deve essere intero, dunque $(3^{2}k-2^{n+2})=q$ sarà intero per forza.
Come si dice, più una cosa la hai sotto gli occhi, e più è difficile vederla
Grazie per avermi aperto gli occhi
Come si dice, più una cosa la hai sotto gli occhi, e più è difficile vederla
Grazie per avermi aperto gli occhi
prego!
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