Dimostrazione per induzione, apparentemente banale..

[Frankwahwah]

Salve a tutti ragazzi..mi sto preparando per l'esame di Matematica Discreta ma ho difficoltà su questo esercizio.

L'esercizio dice: "Stabilire per quali interi positivi vale la seguente disuguaglianza: \(\displaystyle 7^n
Procedo per induzione (spero che almeno questo sia giusto )..

Base induttiva: Per \(\displaystyle n=2 \) la disuguaglianza è vera infatti risulta \(\displaystyle 49<128 \).

Ipotesi: assumiamo \(\displaystyle 7^n Tesi: dimostriamo che è vera per \(\displaystyle n+1 \) quindi $7^(n+1) < (n+1)^7$

Ecco ora non sono riuscito ad arrivare a nessuna conclusione. Provo con la catena di disuguaglianze $7^(n+1)=7*7^n<7*n^7<(n+1)^7$
ma non arrivo da nessuna parte..

[vict85]

Ma gli interi non sono negativi?

In quel caso hai che: \(\displaystyle 7^n = \frac{1}{7^{-n}} \) che è tale che \(\displaystyle 0 < \frac{1}{7^{-n}} \le \frac{1}{7} \). Mentre \(\displaystyle n^{7} = -1^7(-n)^7 = -(-n)^7\) dove \(\displaystyle (-n)^7\) è un numero positivo. Perciò la risposta è mai.

[Frankwahwah]

Scusa, è per gli interi positivi non negativi..correggo il primo post..

[vict85]

Si ha che \(\displaystyle 7n^7 = (\sqrt[7]{7}n)^7 \). Dove \(\displaystyle \sqrt[7]{7} \approx 1.320469\). È evidente che \(\displaystyle n+1 < \sqrt[7]{7}n\) per un \(\displaystyle n \) sufficientemente grande.

Si ha comunque l'uguaglianza per \(\displaystyle n=7 \) e siccome \(\displaystyle 8/7 \approx 1.142857 \) è evidente che \(\displaystyle 7^n > n^7 \) per \(\displaystyle n>7 \).

Si vede invece abbastanza bene che il rapporto \(\displaystyle \frac{n+1}{n}>\sqrt[7]{7} \) per \(\displaystyle 1

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[Frankwahwah]

Wow perfetto..

"vict85": È evidente che \( \displaystyle n+1 < \sqrt[7]{7}n \) per un \( \displaystyle n \) sufficientemente grande.

dovrebbe essere \( \displaystyle n+1 > \sqrt[7]{7}n \) con $n>=2$ giusto?

[vict85]

No, da 4 in poi è minore.