Dimostrazione per induzione

[hula78]

In un vecchio compito di analisi ho trovato questo esercizio di dimostrazione per induzione:

$4^{n+1} >= n3^n$
$AAn>=20$

La base induttiva è facile (anche se si ragiona su cifre abbastanza grosse)

Per l'ipotesi di induzione ho qualche intoppo, chi mi aiuta ?

[adaBTTLS1]

forse conviene scriverla come $(4/3)^n>=n/4$. spero sia utile. ciao.

[_Tipper]

Se $n \ge 20$ e $4^{n+1} \ge n 3^n$, allora

$4^{n+2} = 4^{n+1} \cdot 4 \ge n 3^n \cdot 4 = 4n 3^{n}$

Se $n \ge 20$ è immediato verificare che $4n \ge 3 (n+1)$, quindi $4n 3^{n} \ge 3 (n+1) 3^n = (n+1) 3^{n+1}$, e quindi

$4^{n+2} \ge (n+1) 3^{n+1}$

che conclude la dimostrazione.

[apatriarca]

Supponi che la formula sia vera fino a $k-1 >= 20$ e verifichi se la formula vale anche per k.

$4^{k+1} = 4*4^{k} >= 4*((k-1)*3^{k-1}) >= \frac{3*k}{k-1}(k-1)*3^{k-1} = k*3^{k}$

Per $k>4$ infatti $\frac{k}{k-1} < 4/3$

[hula78]

"Tipper":Se $n \ge 20$ e $4^{n+1} \ge n 3^n$, allora

$4^{n+2} = 4^{n+1} \cdot 4 \ge n 3^n \cdot 4 = 4n 3^{n}$

Se $n \ge 20$ è immediato verificare che $4n \ge 3 (n+1)$, quindi $4n 3^{n} \ge 3 (n+1) 3^n = (n+1) 3^{n+1}$, e quindi

$4^{n+2} \ge (n+1) 3^{n+1}$

che conclude la dimostrazione.

intanto grazie a tutti

Non ho ben capito questo passaggio
$4n \ge 3 (n+1)$, quindi $4n 3^{n} \ge 3 (n+1) 3^n = (n+1) 3^{n+1}$

$3 (n+1)$ da dove viene fuori ?