Dimostrazione per induzione
Buongiorno a tutto il forum,
volevo dimostrare che definito $I_n={1,...,n}$ dove $n in NN$[nota]zero incluso[/nota] si ha che: $a<=b -> I_a⊆I_b$ siccome l'ho sempre usato per intuito ma senza dimostrarlo per davvero.
La mia idea era procedere per induzione su a.
Dunque:
$a=0$ sicuramente vero che $I_0⊆I_b$
vera $a<=b$ che implica $I_a⊆I_b$ => dimostro $a+1<=b$ che implica $I_(a+1)⊆I_b$
l'idea è che $I_(a+1)-{a+1}=I_a⊆I_b$ quindi per ipotesi induttiva ciò è vero.
(primo dubbio) Ora dovrei però mostrare che $x in {a+1} => x in I_b$ ma non so bene come formalizzarlo, nel senso che mi pare ovvio essendo $a+1<=b$ ma questa non è una dimostrazione.
(secondo dubbio) Inoltre mi lascia molto in dubbio il passaggio $I_(a+1)-{a+1}=I_a⊆I_b$ perché mi dico: sì è vero che $I_(a+1)-{a+1}=I_a$ ma chi mi dice che questo è vero per ogni a+1 nei naturali? E quindi cosa dovrei fare un'altra induzione per dimostrare questo fatto? Non credo, ma non riesco ad accorgermi perché io non debba dimostrarlo e possa accettarlo come vero.
Posso chiedervi una mano per capire questi due dubbi? Vi ringrazio, sebbene la domanda sia stupida vorrei capire bene essendo abbastanza semplcie.
volevo dimostrare che definito $I_n={1,...,n}$ dove $n in NN$[nota]zero incluso[/nota] si ha che: $a<=b -> I_a⊆I_b$ siccome l'ho sempre usato per intuito ma senza dimostrarlo per davvero.
La mia idea era procedere per induzione su a.
Dunque:
$a=0$ sicuramente vero che $I_0⊆I_b$
vera $a<=b$ che implica $I_a⊆I_b$ => dimostro $a+1<=b$ che implica $I_(a+1)⊆I_b$
l'idea è che $I_(a+1)-{a+1}=I_a⊆I_b$ quindi per ipotesi induttiva ciò è vero.
(primo dubbio) Ora dovrei però mostrare che $x in {a+1} => x in I_b$ ma non so bene come formalizzarlo, nel senso che mi pare ovvio essendo $a+1<=b$ ma questa non è una dimostrazione.
(secondo dubbio) Inoltre mi lascia molto in dubbio il passaggio $I_(a+1)-{a+1}=I_a⊆I_b$ perché mi dico: sì è vero che $I_(a+1)-{a+1}=I_a$ ma chi mi dice che questo è vero per ogni a+1 nei naturali? E quindi cosa dovrei fare un'altra induzione per dimostrare questo fatto? Non credo, ma non riesco ad accorgermi perché io non debba dimostrarlo e possa accettarlo come vero.
Posso chiedervi una mano per capire questi due dubbi? Vi ringrazio, sebbene la domanda sia stupida vorrei capire bene essendo abbastanza semplcie.
Risposte
Se \( a\leqq b \) e \( x\in I_a = \{n\in \mathbb N : n\leqq a\} \), allora per costruzione \( x\leqq a \), e quindi \( x\leqq b \) per la proprietà transitiva di \( {\leqq} \). A questo punto \( x\in I_b = \{n\in \mathbb N : n\leqq b\} \) ancora per costruzione.
Se $a=b$ il passo induttivo è falso.
"marco2132k":
Se \( a\leqq b \) e \( x\in I_a = \{n\in \mathbb N : n\leqq a\} \), allora per costruzione \( x\leqq a \), e quindi \( x\leqq b \) per la proprietà transitiva di \( {\leqq} \). A questo punto \( x\in I_b = \{n\in \mathbb N : n\leqq b\} \) ancora per costruzione.
Grazie per la semplice dimostrazione
mi ero incasinato per nulla.Comunque, giusto per curiosità e dato che siete ben più capaci di me
Se a=b il passo induttivo è falso.
Vero, ma per induzione credo si riesca a fare, come si può aggiustare quel passo? ora sono incuriosito.
Innanzitutto devi rendere chiaro su quale indice stai facendo induzione, se l'induzione che stai facendo è doppia devi stare attento a problemi come quello di cui parlo sopra.
Poi, devi avere chiaro cosa esattamente c'è di non-triviale in quel che vuoi dimostrare. Se quello che vuoi mostrare è che i segmenti iniziali di \(\mathbb N\), definiti come \([n]:= \{0<1<\dots
Se, invece, quello che vuoi dimostrare è un asserto invariante per isomorfismo, della forma "dato un insieme con $n$ elementi e un insieme cn $m\ge n$ elementi, esiste una funzione iniettiva \([n]\hookrightarrow[m]\)" allora questo segue dalla definizione di "ave $n$ [resp, $m$] elementi", dalla defizione di \(\ge\), e in definitiva dalla definizione di cardinalità.
Poi, devi avere chiaro cosa esattamente c'è di non-triviale in quel che vuoi dimostrare. Se quello che vuoi mostrare è che i segmenti iniziali di \(\mathbb N\), definiti come \([n]:= \{0<1<\dots
Se, invece, quello che vuoi dimostrare è un asserto invariante per isomorfismo, della forma "dato un insieme con $n$ elementi e un insieme cn $m\ge n$ elementi, esiste una funzione iniettiva \([n]\hookrightarrow[m]\)" allora questo segue dalla definizione di "ave $n$ [resp, $m$] elementi", dalla defizione di \(\ge\), e in definitiva dalla definizione di cardinalità.
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