Dimostrazione operazione su congruenze

[algibro]

Devo dimostrare che, per ogni scelta di $a,b \in \mathbb{Z}$: $a_m + b_m = (a+b)_m$

Se $a,b < m \Rightarrow a,b \in \mathbb{Z}_m $ e l'uguaglianza è immediata.
Altrimenti abbiamo:
$a=qm+r$ con $ 0 specularmente, $b=q'm+r' $ con $ 0 e quindi $(a_m + b_m) \equiv (r+r') mod m$

D'alta parte abbiamo:
$(a+b)=qm+r+q'm+r'=qm+q'm+r+r'=m(q+q')+(r+r') $ con $ 0<(r+r') e dunque $(a+b)_m \equiv (r+r') mod m$

In conclusione $a_m + b_m = (a+b)_m$

Può andare ?
Non devo pormi nel primo caso il problema se $(r+r') > (m-1)$, giusto !?

[killing_buddha]

Non devi dimostrarlo; quella regola è parte della definizione di quale struttura rende l'insieme delle classi di resto modulo $m$ un gruppo abeliano.

Per mostrare (questo sì invece) che la definizione è ben posta devi controllare che essa non dipende dalla scelta dei rappresentanti nelle classi di equivalenza di $a,b$: se $[a]_m=[a']_m$ e $_m = [b']_m$ infatti, per definizione di cosa significa classe di resto deve aversi $a'=a+km, b'=b+hm$. Sicché
\[
[a'+b']_m = [a+b+(h+k)m]_m=[a+b]_m.
\]
(ovvero, essendo ancora più precisi, $[a'+b']_m = [a+b]_m$ semplicemente perché $a'+b' = a+b+zm$, dove $z=h+k$.

[algibro]

Ah, ok.
In effetti, nel testo che seguo, senza aver ancora trattato l'argomento "gruppi", viene riportata questa uguaglianza che ho sbirciato e che mi andava di vedere come fosse vera, tutto qua !
Capisco e paziento, allora.

Ps. ad ogni modo, non ho scritto "castronerie" pur non sapendo il senso di quella uguaglianza, giusto ?

grazie.