Dimostrazione ogni estensione di grado primo ha un elemento primitivo

[Rabelais]

Ciao a tutti, studiando mi sono imbattuto nel seguente esercizio:

Dato un campo $K$ arbitrario, dimostrare che ogni estensione di campi $K sub F$ di grado $[F] = p$ con $p$ primo possiede un elemento primitivo.

Per dimostrarlo mi era venuto in mente il Teorema dell'elemento primitivo, il cui corollario dice che

Ogni estensione separabile finita $K sub F$ è semplice o, equivalentemente, ha un elemento primitivo.

Ma se ho un'estensione non separabile? Non so bene come usare questa informazione per dimostrare il quesito dell'esercizio.
Il corollario del lemma sul grado dice che se $[F]$ è un numero primo allora non esistono campi intermedi propri, forse dovrei usare questa informazione?

[dan952]

Si pure io userei quel lemma, se ci fosse più di un elemento primitivo allora potremmo costruire campi intermedi con ognuno di essi.

[Rabelais]

Ah ottimo! Ma per formalizzare la dimostrazione in modo completo come dovrei procedere?

[dan952]

Consideriamo due elementi $\alpha,\beta \in F \\ K$ se consideriamo $F$ come un estensione di $K(\alpha)$ allora avremo che $[F:K(\alpha)] \leq p$ e $[F:K(\alpha)]|[F]=p$ dunque necessariamente $[F:K(\alpha)]=1$ cioè $F=K(\alpha)$, cioè $\beta \in K(\alpha)$.

[Rabelais]

Grazie mille dan!! Nella dimostrazione hai sottinteso che p fosse primo giusto?
Un altra domanda, dicendo che $β∈K(α)$ intendi che $β=α$ ?

[dan952]

Faccio un'osservazione, ho scritto $[F:K(\alpha)] \leq p$ in realtà l'uguaglianza non sussiste perché $\alpha \in F \\K$.

Detto questo, ho usato le ipotesi dell'esercizio, $p$ primo, e con $\beta \in K(\alpha)$ intendo dire che $\beta=a_0+a_1\alpha+ \cdots +a_{p-1}\alpha^{p-1}$ per opportuni $a_0, \cdots, a_{p-1} \in K$.

[Rabelais]

Grazie ancora molto gentile!