Dimostrazione numeri primi infiniti
Buongiorno, ho bisogno di una mano nella dimostrazione che riguarda l'infinità dei numeri primi del tipo $4n + 3$ .
Ho iniziato prendendo in considerazione e supponendo (per assurdo) che l'insieme $P = { p è primi | p = 4n + 3, n \in N }$ abbia cardinalità finita $p$. E quindi siano ${ p_{1} .... p_{p} }$ l'insieme dei numeri primi esprimibili in questa forma....
Considero $N = \prod_{i=1}^{p} p_{i}$.
Adesso non so più come andare avanti ..
Mi date qualche consiglio? grazie
Ho iniziato prendendo in considerazione e supponendo (per assurdo) che l'insieme $P = { p è primi | p = 4n + 3, n \in N }$ abbia cardinalità finita $p$. E quindi siano ${ p_{1} .... p_{p} }$ l'insieme dei numeri primi esprimibili in questa forma....
Considero $N = \prod_{i=1}^{p} p_{i}$.
Adesso non so più come andare avanti ..
Mi date qualche consiglio? grazie
Risposte
Ciao, considera $4N+3$ e prova a chiederti per quali primi è divisibile.
"Martino":
Ciao, considera $4N+3$ e prova a chiederti per quali primi è divisibile.
Penso non sia divisibile per i primi della forma $4n + 1$. E adesso?
$M=4N+3$ deve quindi essere divisibile per un primo $p$ del tipo $4n+3$. Ma questo primo divide anche $N$ per definizione. Quindi $p$ divide $M-4N = 3$ e quindi $p=3$.
Scusa, la dimostrazione che ti ho suggerito non funziona come credevo. Considera invece $4N-1$ e fai lo stesso ragionamento con questo.
"Martino":
Scusa, la dimostrazione che ti ho suggerito non funziona come credevo. Considera invece $4N-1$ e fai lo stesso ragionamento con questo.
Sicuramente $4N -1 > N$ e quindi se $4N - 1$ fosse primo ho trovato un primo diverso da quelli del'insieme ${p_{1} .... p_{k}}$ tale che anch'esso è esprimibile nella forma $4n' + 3$ perché tutti i primi che si possono scrivere come $4n - 1$ si possono scrivere anche come $4n' + 3$.
Se invece $4N-1$ non fosse primo esisterebbe un fattore primo q di $4N - 1$ ovvero tale che $4N - 1 \equiv 0 mod q$.
Questo fattore primo $q$ non appartiene ai primi del tipo $p_{i} | p_{i} = 4n+3$ perché se vi appartenesse allora dividerebbe anche $-1$ e $q = -1$ è assurdo.
Ovviamente $q$ primo tale che $q | 4N - 1$ deve avere la forma di $4n - 1$ con n naturale. Ma quindi avrei trovato un primo $q$ diverso da quelli ipotizzati finiti in precedenza e tale che $q = 4n - 1 \equiv 3 mod 4$.
Però mi sfugge come faccio a dimostrare che se $q$ è primo e divide $4N-1$ allora deve avere la forma del tipo $4n-1$ ....
"Desirio":
[quote="Martino"]Scusa, la dimostrazione che ti ho suggerito non funziona come credevo. Considera invece $4N-1$ e fai lo stesso ragionamento con questo.
Sicuramente $4N -1 > N$ e quindi se $4N - 1$ fosse primo ho trovato un primo diverso da quelli del'insieme ${p_{1} .... p_{k}}$ tale che anch'esso è esprimibile nella forma $4n' + 3$ perché tutti i primi che si possono scrivere come $4n - 1$ si possono scrivere anche come $4n' + 3$.
Se invece $4N-1$ non fosse primo esisterebbe un fattore primo q di $4N - 1$ ovvero tale che $4N - 1 \equiv 0 mod q$.
Questo fattore primo $q$ non appartiene ai primi del tipo $p_{i} | p_{i} = 4n+3$ perché se vi appartenesse allora dividerebbe anche $-1$ e $q = -1$ è assurdo.
Ovviamente $q$ primo tale che $q | 4N - 1$ deve avere la forma di $4n - 1$ con n naturale. Ma quindi avrei trovato un primo $q$ diverso da quelli ipotizzati finiti in precedenza e tale che $q = 4n - 1 \equiv 3 mod 4$.
Però mi sfugge come faccio a dimostrare che se $q$ è primo e divide $4N-1$ allora deve avere la forma del tipo $4n-1$ ....[/quote]
Scusa ma poco di quello che hai scritto è corretto. $M=4N-1$ non può avere tutti i divisori primi del tipo $4k+1$ perché un prodotto di numeri del tipo $4k+1$ è del tipo $4k+1$ (perché?). Riesci a concludere?
Si perché 4k+1 non è congruo a 3 mod 4 .... quindi almeno un fattore deve essere della forma 4k-1... giusto?
Sì
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