Dimostrazione numeri primi
Buongiorno, sono arrivato a metà di una dimostrazione sui numeri primi ma non riesco a continuare.
Devo dimostrare che preso un $n in NN : n>3$ allora $n,n+2,n+4$ non possono essere tutti primi.
Ho provato così:
Nel caso in cui $n$ è pari allora nessuno tra $n,n+2,n+4$ è primo.
Se invece $n$ è primo allora $n+2$ oppure $n+4$ non sono primi. Solo che non so come dimostrare questo fatto...
Grazie...
Devo dimostrare che preso un $n in NN : n>3$ allora $n,n+2,n+4$ non possono essere tutti primi.
Ho provato così:
Nel caso in cui $n$ è pari allora nessuno tra $n,n+2,n+4$ è primo.
Se invece $n$ è primo allora $n+2$ oppure $n+4$ non sono primi. Solo che non so come dimostrare questo fatto...
Grazie...
Risposte
La dimostrazione è abbastanza semplice...
Partiamo dalla seguente premessa:
Ogni numero naturale $n$ coprimo con $3$ o è della forma $3k+1$ o è della forma $3k-1$ (si dimostri con il piccolo teorema di Fermat).
Dim. Ammettiamo che esista un numero primo $p>3$ tale che $p$,$q=p+2$ e $r=p+4$ siano primi, poiché $p$ è evidentemente coprimo con $3$ allora potrà essere o della forma $3k+1$ o della forma $3k-1$ e quindi se fosse $p=3k+1$ avremo che $q$ sarebbe divisibile per $3$ invece se fosse $p=3k-1$ avremo che $r$ sarebbe divisibile per $3$ in contraddizione con l'ipotesi che $q$ e $r$ siano primi.
Partiamo dalla seguente premessa:
Ogni numero naturale $n$ coprimo con $3$ o è della forma $3k+1$ o è della forma $3k-1$ (si dimostri con il piccolo teorema di Fermat).
Dim. Ammettiamo che esista un numero primo $p>3$ tale che $p$,$q=p+2$ e $r=p+4$ siano primi, poiché $p$ è evidentemente coprimo con $3$ allora potrà essere o della forma $3k+1$ o della forma $3k-1$ e quindi se fosse $p=3k+1$ avremo che $q$ sarebbe divisibile per $3$ invece se fosse $p=3k-1$ avremo che $r$ sarebbe divisibile per $3$ in contraddizione con l'ipotesi che $q$ e $r$ siano primi.
Non capisco l'affermazione
"dan95":...
poiché p è evidentemente coprimo con 3 allora
Se \( p \) è primo hai una ed una sola delle due: \( p = 3 \) aut \( (p,3) = 1 \). Dal momento che per ipotesi hai \( p > 3 \), vale la seconda.
Il suggerimento del testo era di pensare $mod 3$...
Continuo a non capire il discorso del $3$. Se devo prendere un $n>3$....
Dato un generico numero intero $n$, sono possibili questi tre casi:
$n-=0 (mod 3)$ (equivalentemente, $n$ è divisibile per $3$), $n-=1 (mod 3)$ oppure $n-=2 (mod 3)$.
Fin qui ci sei?
$n-=0 (mod 3)$ (equivalentemente, $n$ è divisibile per $3$), $n-=1 (mod 3)$ oppure $n-=2 (mod 3)$.
Fin qui ci sei?
fin qui tutto torna...
Bene. Ora,
- se $n-=0 (mod 3)$ allora $n$ è divisibile per $3$;
- se $n-=1 (mod 3)$ allora $n+2-=1+2=3-=0 (mod 3)$, cioè $n+2$ è divisibile per $3$;
- se $n-=2 (mod 3)$ allora $n+4-=4+2=6-=0 (mod 3)$, cioè $n+4$ è divisibile per $3$;
Questo significa che, sempre, uno tra $n$, $n+2$ e $n+4$ è divisibile per $3$.
- se $n-=0 (mod 3)$ allora $n$ è divisibile per $3$;
- se $n-=1 (mod 3)$ allora $n+2-=1+2=3-=0 (mod 3)$, cioè $n+2$ è divisibile per $3$;
- se $n-=2 (mod 3)$ allora $n+4-=4+2=6-=0 (mod 3)$, cioè $n+4$ è divisibile per $3$;
Questo significa che, sempre, uno tra $n$, $n+2$ e $n+4$ è divisibile per $3$.
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