Dimostrazione Minimo Comune Multiplo
Ciao a tutti,
continua la mia odissea verso l'esame di Algebra! Vorrei sapere se questa può essere una soluzione corretta per l'esercizio:
- indicato con $[a,b]$ il minimo comune multiplo tra due interi non entrambi nulli $a$ e $b$, dimostrare che $[a,b] = (ab)/(MCD(a,b))$
Per il Teo. Fond. dell'Aritmetica ogni numero intero è scomponibile in un prodotto finito di numeri primi.
Siano
$A = { p_i in Z : a = (p_1)^(i_1)* ... * (p_n)^(i_n) } $ l'insieme composto da tutti i fattori di a e sia
$B = { q_i in Z : b = (q_1)^(j_1)* ... * (q_m)^(j_m) } $ lo stesso per b.
Noto che il MCD è dato dall'intersezione $A cap B$ mentre il mcm dalla somma disgiunta $A oplus B = A + B - (A cap B)$
A questo punto mi sembra ovvio che $(ab)/(MCD(a,b))$ sia dimostrato, ma non riesco a formalizzarlo. Come posso terminare la dimostrazione? (sempre se nn ho preso un abbaglio
)
Grazie,
Lorenzo
continua la mia odissea verso l'esame di Algebra! Vorrei sapere se questa può essere una soluzione corretta per l'esercizio:
- indicato con $[a,b]$ il minimo comune multiplo tra due interi non entrambi nulli $a$ e $b$, dimostrare che $[a,b] = (ab)/(MCD(a,b))$
Per il Teo. Fond. dell'Aritmetica ogni numero intero è scomponibile in un prodotto finito di numeri primi.
Siano
$A = { p_i in Z : a = (p_1)^(i_1)* ... * (p_n)^(i_n) } $ l'insieme composto da tutti i fattori di a e sia
$B = { q_i in Z : b = (q_1)^(j_1)* ... * (q_m)^(j_m) } $ lo stesso per b.
Noto che il MCD è dato dall'intersezione $A cap B$ mentre il mcm dalla somma disgiunta $A oplus B = A + B - (A cap B)$
A questo punto mi sembra ovvio che $(ab)/(MCD(a,b))$ sia dimostrato, ma non riesco a formalizzarlo. Come posso terminare la dimostrazione? (sempre se nn ho preso un abbaglio
)Grazie,
Lorenzo
Risposte
Scriviamo meglio quegli insiemi, usando i primi come sono ordinati naturalmente, possiamo denotare ogni numero con una successione infinita (degli esponenti) tale che sia definitivamente uguale a 0:
$a=(p_1^(a_1), p_2^(a_2), p_3^(a_3), ..., p_i^(a_i), p_(i+1)^0,...) ={a_1, a_2, a_3,..., a_i, 0,...}$
$b={b_1, b_2, b_3,..., b_j, 0,...}$
A te dimostrare quello che dico:
$MCD={min(a_1,b_1), min(a_2,b_2), min(a_3, b_3), ..., min(a_i, b_i),..., min(a_j,b_j), 0, ...}$
La moltiplicazione tra $ab$ non è altro che la somma:
$ab= {a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+ b_3, ..., a_i+ b_i,..., a_j+b_j, 0, ...}$
La divisione sarà la differenza:
$(ab)/(MCD)=$
${a_1+b_1-min(a_1,b_1), a_2+b_2-min(a_2,b_2), a_3+ b_3-min(a_3,b_3),$ $ ..., a_i+ b_i-min(a_i,b_i),..., a_j+b_j-min(a_j,b_j), 0, ...}=$
$={max(a_1,b_1), max(a_2,b_2), max(a_3, b_3), ..., max(a_i, b_i),..., max(a_j,b_j), 0, ...}=$
$mcm$
$a=(p_1^(a_1), p_2^(a_2), p_3^(a_3), ..., p_i^(a_i), p_(i+1)^0,...) ={a_1, a_2, a_3,..., a_i, 0,...}$
$b={b_1, b_2, b_3,..., b_j, 0,...}$
A te dimostrare quello che dico:
$MCD={min(a_1,b_1), min(a_2,b_2), min(a_3, b_3), ..., min(a_i, b_i),..., min(a_j,b_j), 0, ...}$
La moltiplicazione tra $ab$ non è altro che la somma:
$ab= {a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+ b_3, ..., a_i+ b_i,..., a_j+b_j, 0, ...}$
La divisione sarà la differenza:
$(ab)/(MCD)=$
${a_1+b_1-min(a_1,b_1), a_2+b_2-min(a_2,b_2), a_3+ b_3-min(a_3,b_3),$ $ ..., a_i+ b_i-min(a_i,b_i),..., a_j+b_j-min(a_j,b_j), 0, ...}=$
$={max(a_1,b_1), max(a_2,b_2), max(a_3, b_3), ..., max(a_i, b_i),..., max(a_j,b_j), 0, ...}=$
$mcm$
Ciao Maci!
Sei riuscito a formalizzare esattamente quello che avevo in mente
Ma cosa devo dimostrare in questo casa questo punto?
Devo dimostrare che la Somma di a + b corrisponde alla moltiplicazione ab e che la divisione corrisponde alla differenza?
Sei riuscito a formalizzare esattamente quello che avevo in mente
Ma cosa devo dimostrare in questo casa questo punto?
Devo dimostrare che la Somma di a + b corrisponde alla moltiplicazione ab e che la divisione corrisponde alla differenza?
Più che altro che l'MCD è il minimo e l'mcm è il massimo, ti assicuro che è "facile" Le altre dipendono dalle regole delle potenze
Le altre dipendono dalle regole delle potenze
Sono andato un pò avanti, quando ci torno su ti posto la soluzione e vediamo se ho capito bene!
Una dimostrazione alla portata di tutti...
Come di norma indico con $[a,b]$ e $(a,b)$ rispettivamente il m.cm. e il M.C.D di due naturali a e b.
Sia M un comune multiplo di a e di b :
(1) $M=aq_a, M=bq_b$
Poiché (a,b) è un divisore sia di a che di b , possiamo porre :
(2) $a=(a,b)A$, $b=(a,b)B$
dove $(A,B)=1$
Sostituendo le (2) nelle (1) risulta :
$M=(a,b)Aq_a, M=(a,b)Bq_b$
Eguagliando i due valori di M abbiamo :
$Aq_a=Bq_b$
da cui : $q_b=A/Bq_a$
E poiché A e B sono primi tra loro, ne segue che B deve dividere $q_a$. Si può dunque porre :
$q_a=cB$ con $c>=1$
Sostituendo tale valore di $q_a$ nella prima delle (1) e tenendo conto che dalle (2) scaturisce $B=b/{(a,b) }$, ne risulta che :
$M=a q_a=acB=ac\cdot b/{(a,b)}={ab}/{(a,b)}c$
Il multiplo più piccolo di a e b ( ovvero il m.c.m di a e b),si ha evidentemente per $c=1$ e dunque :
$[a,b]={ab}/{(a,b)}$
C.V.D.
Come di norma indico con $[a,b]$ e $(a,b)$ rispettivamente il m.cm. e il M.C.D di due naturali a e b.
Sia M un comune multiplo di a e di b :
(1) $M=aq_a, M=bq_b$
Poiché (a,b) è un divisore sia di a che di b , possiamo porre :
(2) $a=(a,b)A$, $b=(a,b)B$
dove $(A,B)=1$
Sostituendo le (2) nelle (1) risulta :
$M=(a,b)Aq_a, M=(a,b)Bq_b$
Eguagliando i due valori di M abbiamo :
$Aq_a=Bq_b$
da cui : $q_b=A/Bq_a$
E poiché A e B sono primi tra loro, ne segue che B deve dividere $q_a$. Si può dunque porre :
$q_a=cB$ con $c>=1$
Sostituendo tale valore di $q_a$ nella prima delle (1) e tenendo conto che dalle (2) scaturisce $B=b/{(a,b) }$, ne risulta che :
$M=a q_a=acB=ac\cdot b/{(a,b)}={ab}/{(a,b)}c$
Il multiplo più piccolo di a e b ( ovvero il m.c.m di a e b),si ha evidentemente per $c=1$ e dunque :
$[a,b]={ab}/{(a,b)}$
C.V.D.
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