Dimostrazione Leggi Insiemi
Ciao a tutti, sono dubbioso sul fatto che questo tipo di esercizi si risolva così:
Si assuma che $A$, $B$, $C$ siano sottoinsiemi dell'universo $u$. Dimostrare la validità della seguente legge:
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
Mia risoluzione:
1) $ x \in A \cap (B \cup C) \leftrightarrow$
$x \in A \wedge x \in (B \cup C)
\leftrightarrow$
$x \in A \wedge (x \in B \vee x\in C) \leftrightarrow$
$(x \in A \wedge x \in B) \vee ( x \in A \wedge x \in C)$
2) $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \leftrightarrow$
$(x \in A \wedge x \in B) \vee ( x \in A \wedge x \in C)$
Siccome le conclusioni sono uguali allora la legge è verificata. È giusto il meccanismo o bisognava usare il principio di doppia inclusione?
Si assuma che $A$, $B$, $C$ siano sottoinsiemi dell'universo $u$. Dimostrare la validità della seguente legge:
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
Mia risoluzione:
1) $ x \in A \cap (B \cup C) \leftrightarrow$
$x \in A \wedge x \in (B \cup C)
\leftrightarrow$
$x \in A \wedge (x \in B \vee x\in C) \leftrightarrow$
$(x \in A \wedge x \in B) \vee ( x \in A \wedge x \in C)$
2) $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \leftrightarrow$
$(x \in A \wedge x \in B) \vee ( x \in A \wedge x \in C)$
Siccome le conclusioni sono uguali allora la legge è verificata. È giusto il meccanismo o bisognava usare il principio di doppia inclusione?
Risposte
Se con "principio di doppia inclusione" intendi il fatto che due insiemi \( S \) e \( T \) sono uguali se e solo se \( S \subseteq T \land T \subseteq S \), allora in realtà lo stai già usando.
Osserva infatti che, se anziché considerare il bicondizionale \( \leftrightarrow \) consideri solo il condizionale \( \rightarrow \) (estraendolo, in un certo senso, dal bicondizionale che hai usato, come a dividere il bicondizionale in due condizionali), allora hai:
\[
x \in A \cap ( B \cup C ) \rightarrow x \in A \land x \in B \cup C \rightarrow x \in A \land ( x \in B \lor x \in C ) \rightarrow \\
( x \in A \land x \in B ) \lor ( x \in A \land x \in C ) \rightarrow x \in A \cap B \lor x \in A \cap C \rightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)
\]
i.e. \( A \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
Se adesso procedi invertendo il percorso (cioè prendendo il condizionale \( \leftarrow \) dal bicondizionale \( \leftrightarrow \)), dimostri l'altra inclusione.
Poiché si sta semplicemente "giocando" con le definizioni di unione e di intersezione e con le proprietà dei connettivi che valgono per mezzo di bicondizionali, allora è come se le due inclusioni fossero provate simultaneamente.
In effetti l'unica cosa da segnalare è che non è necessario spezzare la dimostrazione in due passaggi: nel passaggio 1), quando giungi a \( ( x \in A \land x \in B ) \lor ( x \in A \land x \in C ) \) ti basta usare altri due bicondizionali, ricorrendo ancora alla definizione di unione e di intersezione, per scrivere
\[ ( x \in A \land x \in B ) \lor ( x \in A \land x \in C ) \leftrightarrow x \in ( A \cap B ) \lor x \in ( A \cap C ) \leftrightarrow x \in ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) \]
Osserva infatti che, se anziché considerare il bicondizionale \( \leftrightarrow \) consideri solo il condizionale \( \rightarrow \) (estraendolo, in un certo senso, dal bicondizionale che hai usato, come a dividere il bicondizionale in due condizionali), allora hai:
\[
x \in A \cap ( B \cup C ) \rightarrow x \in A \land x \in B \cup C \rightarrow x \in A \land ( x \in B \lor x \in C ) \rightarrow \\
( x \in A \land x \in B ) \lor ( x \in A \land x \in C ) \rightarrow x \in A \cap B \lor x \in A \cap C \rightarrow x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)
\]
i.e. \( A \cap (B \cup C) \subseteq (A \cap B) \cup (A \cap C) \).
Se adesso procedi invertendo il percorso (cioè prendendo il condizionale \( \leftarrow \) dal bicondizionale \( \leftrightarrow \)), dimostri l'altra inclusione.
Poiché si sta semplicemente "giocando" con le definizioni di unione e di intersezione e con le proprietà dei connettivi che valgono per mezzo di bicondizionali, allora è come se le due inclusioni fossero provate simultaneamente.
In effetti l'unica cosa da segnalare è che non è necessario spezzare la dimostrazione in due passaggi: nel passaggio 1), quando giungi a \( ( x \in A \land x \in B ) \lor ( x \in A \land x \in C ) \) ti basta usare altri due bicondizionali, ricorrendo ancora alla definizione di unione e di intersezione, per scrivere
\[ ( x \in A \land x \in B ) \lor ( x \in A \land x \in C ) \leftrightarrow x \in ( A \cap B ) \lor x \in ( A \cap C ) \leftrightarrow x \in ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) \]
Chiarissimo, grazie.
Prego.
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