Dimostrazione insiemistica
Ciao,
ho da poco iniziato a studiare Algebra, la prof ha dato da dimostrare la seguente:
Dati due insieme A e B dimostrare che $ A sube BhArr A uu B = B $
Chi è così gentile da spiegarmi il procedimento per dimostrarla.
Grazie
ho da poco iniziato a studiare Algebra, la prof ha dato da dimostrare la seguente:
Dati due insieme A e B dimostrare che $ A sube BhArr A uu B = B $
Chi è così gentile da spiegarmi il procedimento per dimostrarla.
Grazie
Risposte
Ammettiamo che l'unione non sia uguale a \(\displaystyle B \). Cosa potresti dedurre? 
La dimostrazione dipende da che teoremi e definizioni hai usato finora. Comunque il regolamente prevede un tentativo di risoluzione da parte tua. Sono sufficienti anche un paio di frasi che dimostrino che tu ci abbia almeno provato.
Buonasera, io la soluzione ce l'ho poiché sono esercizi svolti in classe ma non ho capito molto il metodo di ragionamento.
$ x in Auu B $ significa che $ x in A vv x in B $ poi .. mi blocco
"Ianero":
Ammettiamo che l'unione non sia uguale a \( \displaystyle B \). Cosa potresti dedurre?
$ x in Auu B $ significa che $ x in A vv x in B $ poi .. mi blocco
In che senso ti blocchi? Insomma l'unica cosa che devi usare è che se \(x\in A\) allora \(x\) è anche in \(B\).
$ x in Auu B $ significa che $ x in A vv x in B $ poi ..
Ragioniamo in italiano, poi scriviamo la matematica
Come ti ha detto anche vict dall'ipotesi puoi dedurre che un elemento presente in B è sempre presente anche in A (per ipotesi).
Ora immaginiamo che non sia vera la tesi da dimostrare, ovvero che l'unione non sia \(\displaystyle B \), vuol dire che troverai un elemento nell'insieme \(\displaystyle A \) che avrà qualche caratteristica strana (guarda l'ipotesi).
Qual è questa cosa strana?
@fralu,
devi (di)mostrare $$ A \subseteq B \to A \cup B=B \wedge A \cup B=B \to A \subseteq B $$
parti col primo, ovvero \( A \subseteq B \to A \cup B=B \), puoi procedere in due modi.. o dimostrare la doppia inclusione $ A \cup B \subseteq B \wedge B \subseteq A \cup B $ o per assurdo ergo negare \( A \cup B=B \) e ragionare assieme all'ipotesi sperando di ottenere una contraddizione... vediamole entrambe e dimostriamo la doppia inclusione $A \cup B \subseteq B \wedge B \subseteq A \cup B $
proof diretta : prendiamo \( A \cup B \subseteq B \), per definizione dobbiamo fare vedere che $ \forall x \in A \cup B(x \in B)$. Prendiamo allora un \( x \in A \cup B \), dalla definizione di unione insiemistica sappiamo che \( x \in A \vee x \in B \), ragionando ancora per casi avremo per \( x \in A\) essendo per ipotesi anche \( A \subseteq B \) (ovvero: \( \forall x \in A ( x \in B)\) ) si ha \( x \in B \) (quello che volevasi), nell'altro caso prendiamo un \( x \in B \) e banalmente è elemento di \( B \). Lascio a te il compito di dimostrare $B \subseteq A \cup B$ !!
proof per assurdo: negare la tesi \( A \cup B = B \) singnifica \( A \cup B \neq B \), ergo per definizione \( A \cup B \nsubseteq B \vee B \nsubseteq A \cup B \); procedendo per casi, analizziamo \( A \cup B \nsubseteq B \), cioè per definizione \( \exists x \in A \cup B ( x \notin B ) \), ma se \( x \in A \cup B \) allora \( x \in A \vee x \in B \) e procedendo ancora per casi avremo nel caso \( x \in A \) ( essendo \( A \subseteq B \)) che \( x \in B \) una contraddizione poichè avevamo \( x \notin B \), nell'altro caso \( x \in B \) otteniamo sempre la medesima contraddizione. Lascio a te il compito di ragionare nel caso \(B \nsubseteq A \cup B \) !!
Le dimostrazioni di sopra sono per il caso \( A \subseteq B \to A \cup B=B \), a te il caso \( A \cup B=B \to A \subseteq B \)
Saluti
P.s.=Se \( A,B \) sono elementi di un insieme delle parti allora è tutto vero poichè l'insieme delle parti è algebra di Boole
"fralu":
Ciao,
ho da poco iniziato a studiare Algebra, la prof ha dato da dimostrare la seguente:
Dati due insieme A e B dimostrare che $ A sube BhArr A uu B = B $
Chi è così gentile da spiegarmi il procedimento per dimostrarla.
Grazie
devi (di)mostrare $$ A \subseteq B \to A \cup B=B \wedge A \cup B=B \to A \subseteq B $$
parti col primo, ovvero \( A \subseteq B \to A \cup B=B \), puoi procedere in due modi.. o dimostrare la doppia inclusione $ A \cup B \subseteq B \wedge B \subseteq A \cup B $ o per assurdo ergo negare \( A \cup B=B \) e ragionare assieme all'ipotesi sperando di ottenere una contraddizione... vediamole entrambe e dimostriamo la doppia inclusione $A \cup B \subseteq B \wedge B \subseteq A \cup B $
proof diretta : prendiamo \( A \cup B \subseteq B \), per definizione dobbiamo fare vedere che $ \forall x \in A \cup B(x \in B)$. Prendiamo allora un \( x \in A \cup B \), dalla definizione di unione insiemistica sappiamo che \( x \in A \vee x \in B \), ragionando ancora per casi avremo per \( x \in A\) essendo per ipotesi anche \( A \subseteq B \) (ovvero: \( \forall x \in A ( x \in B)\) ) si ha \( x \in B \) (quello che volevasi), nell'altro caso prendiamo un \( x \in B \) e banalmente è elemento di \( B \). Lascio a te il compito di dimostrare $B \subseteq A \cup B$ !!
proof per assurdo: negare la tesi \( A \cup B = B \) singnifica \( A \cup B \neq B \), ergo per definizione \( A \cup B \nsubseteq B \vee B \nsubseteq A \cup B \); procedendo per casi, analizziamo \( A \cup B \nsubseteq B \), cioè per definizione \( \exists x \in A \cup B ( x \notin B ) \), ma se \( x \in A \cup B \) allora \( x \in A \vee x \in B \) e procedendo ancora per casi avremo nel caso \( x \in A \) ( essendo \( A \subseteq B \)) che \( x \in B \) una contraddizione poichè avevamo \( x \notin B \), nell'altro caso \( x \in B \) otteniamo sempre la medesima contraddizione. Lascio a te il compito di ragionare nel caso \(B \nsubseteq A \cup B \) !!
Le dimostrazioni di sopra sono per il caso \( A \subseteq B \to A \cup B=B \), a te il caso \( A \cup B=B \to A \subseteq B \)
Saluti
P.s.=Se \( A,B \) sono elementi di un insieme delle parti allora è tutto vero poichè l'insieme delle parti è algebra di Boole
"garnak.olegovitc":
@fralu,
[quote="fralu"]Ciao,
ho da poco iniziato a studiare Algebra, la prof ha dato da dimostrare la seguente:
Dati due insieme A e B dimostrare che $ A sube BhArr A uu B = B $
Chi è così gentile da spiegarmi il procedimento per dimostrarla.
Grazie
devi (di)mostrare \[ A \subseteq B \to A \cup B=B \wedge A \cup B=B \to A \subseteq B \]
parti col primo, ovvero \( A \subseteq B \to A \cup B=B \), puoi procedere in due modi.. o dimostrare la doppia inclusione $ A \cup B \subseteq B \wedge B \subseteq A \cup B $ o per assurdo ergo negare \( A \cup B=B \) e ragionare assieme all'ipotesi sperando di ottenere una contraddizione... vediamole entrambe e dimostriamo la doppia inclusione $ A \cup B \subseteq B \wedge B \subseteq A \cup B $
proof diretta : prendiamo \( A \cup B \subseteq B \), per definizione dobbiamo fare vedere che $ \forall x \in A \cup B(x \in B) $. Prendiamo allora un \( x \in A \cup B \), dalla definizione di unione insiemistica sappiamo che \( x \in A \vee x \in B \), ragionando ancora per casi avremo per \( x \in A \) essendo per ipotesi anche \( A \subseteq B \) (ovvero: \( \forall x \in A ( x \in B) \) ) si ha \( x \in B \) (quello che volevasi), nell'altro caso prendiamo un \( x \in B \) e banalmente è elemento di \( B \). Lascio a te il compito di dimostrare $ B \subseteq A \cup B $ !!
proof per assurdo: negare la tesi \( A \cup B = B \) singnifica \( A \cup B \neq B \), ergo per definizione \( A \cup B \nsubseteq B \vee B \nsubseteq A \cup B \); procedendo per casi, analizziamo \( A \cup B \nsubseteq B \), cioè per definizione \( \exists x \in A \cup B ( x \notin B ) \), ma se \( x \in A \cup B \) allora \( x \in A \vee x \in B \) e procedendo ancora per casi avremo nel caso \( x \in A \) ( essendo \( A \subseteq B \)) che \( x \in B \) una contraddizione poichè avevamo \( x \notin B \), nell'altro caso \( x \in B \) otteniamo sempre la medesima contraddizione. Lascio a te il compito di ragionare nel caso \( B \nsubseteq A \cup B \) !!
Le dimostrazioni di sopra sono per il caso \( A \subseteq B \to A \cup B=B \), a te il caso \( A \cup B=B \to A \subseteq B \)
Saluti
P.s.=Se \( A,B \) sono elementi di un insieme delle parti allora è tutto vero poichè l'insieme delle parti è algebra di Boole[/quote]
Prima di tutto ti ringrazio per la disponibilità e mi scuso per il ritardo nella risposta.
Ora se non ho capito male scrivo la dimostrazione di $ A uu B = B -> Asube B $
Per definizione so $ AA x in A uu B, x in A vv x in B $
Dato che per ipotesi abbiamo $ A uu B = B $ quindi $ AA x in A uu B ,( x in B) $
Possiamo dire che $ A sube B $
E' giusta ?
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