Dimostrazione - Insiemistica

[Eporus]

Esercizio: Dimostra la seguente uguaglianza di insiemi.
Sono ben accetti consigli per migliorare il formalismo della dimostrazione che, mi rendo conto, lascia a desiderare.
Il concetto dovrei avercelo in testa ma spesso faccio fatica a tradurlo in linguaggio matematico.
Ok, proviamo:

$(A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) $

- Dimostro la doppia inclusione:

1) $(A uu B) nn C sube (A nn C) uu (B nn C) $
2) $(A uu B) nn C supe (A nn C) uu (B nn C) $

Sia $x in (A uu B) nn C $ allora $ x in A uu B$ e $x in C$.
Se $x in A uu B $ e $ x in C$ allora $x in A$ o $x in B$ e $x in C$ (a)
Sia $x in (A nn C) uu (B nn C)$ allora $x in A nn C$ o $x in B nn C$.
Se $x in A nn C$ o $x in B nn C$ allora $x in A$ e $x in C$ o $x in B$ e $x in C$. (b)

Si nota che la (a) e la (b) sono equivalenti in quanto x appartiene comunque a C e può appartenere anche ad A o B.
La doppia inclusione è dimostrata in quanto gli insiemi hanno gli stessi elementi.

Secondo voi va bene una dimostrazione del genere?
Si può dimostrare anche con una tabella di verità?

[garnak.olegovitc1]

@Eporus,

"Eporus":Esercizio: Dimostra la seguente uguaglianza di insiemi.
Sono ben accetti consigli per migliorare il formalismo della dimostrazione che, mi rendo conto, lascia a desiderare.
Il concetto dovrei avercelo in testa ma spesso faccio fatica a tradurlo in linguaggio matematico.
Ok, proviamo:

$(A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) $

- Dimostro la doppia inclusione:

1) $(A uu B) nn C sube (A nn C) uu (B nn C) $
2) $(A uu B) nn C supe (A nn C) uu (B nn C) $

Sia $x in (A uu B) nn C $ allora $ x in A uu B$ e $x in C$.
Se $x in A uu B $ e $ x in C$ allora $x in A$ o $x in B$ e $x in C$ (a)
Sia $x in (A nn C) uu (B nn C)$ allora $x in A nn C$ o $x in B nn C$.
Se $x in A nn C$ o $x in B nn C$ allora $x in A$ e $x in C$ o $x in B$ e $x in C$. (b)

Si nota che la (a) e la (b) sono equivalenti in quanto x appartiene comunque a C e può appartenere anche ad A o B.
La doppia inclusione è dimostrata in quanto gli insiemi hanno gli stessi elementi.

Secondo voi va bene una dimostrazione del genere?
Si può dimostrare anche con una tabella di verità?

scusami ma ho difficoltà a seguirti... concordo che devi dimostrare queste due:

1) $(A uu B) nn C sube (A nn C) uu (B nn C) $
2) $(A uu B) nn C supe (A nn C) uu (B nn C) $

che equivale a dimostrare rispettivamente queste due:

1) $ \forall x \in ((A uu B) nn C) (x \in ((A nn C) uu (B nn C)) )$
2) $\forall x \in ((A nn C) uu (B nn C)) (x \in ((A uu B) nn C))$

non ho capito se lo hai fatto o meno!

saluti!

[Eporus]

E' proprio questo il problema, a un certo punto mi sembra di essere arrivato a una conclusione, avendo dimostrato che le due espressioni sono equivalenti...
Qualcuno sa proporre una dimostrazione più leggibile?
(certo, ammettendo che la mia sia corretta)

[garnak.olegovitc1]

@Eporus,

"Eporus":E' proprio questo il problema, a un certo punto mi sembra di essere arrivato a una conclusione, avendo dimostrato che le due espressioni sono equivalenti...
Qualcuno sa proporre una dimostrazione più leggibile?
(certo, ammettendo che la mia sia corretta)

ti basta applicare le definizioni degli insiemi unione, intersezione... un alternativa può essere usando la logica delle proposizioni, la conosci?

Saluti