Dimostrazione iniettività e suriettività funzione

[*CyberCrasher]

Ciao a tutti, vi posto questo compito d'esame che non riesco proprio a svolgere.



Allora vediamo un po.. io procedo così:

Presa la coppia x,y appartenenti a Z ed entrambi pari:
f(x)=f(y) -> kx=ky -> x=y (per k != 0)

Presa la coppia x,y appartenenti a Z ed entrambi dispari:
f(x)=f(y) -> (k-1)x=(k-1)y -> x=y (per k!=1)

Presa la coppia x,y appartenenti a Z, x pari e y dispari:
f(x)=f(y) -> kx=(k-1)y -> MAI

Concludo dunque che la funzione è iniettiva nei seguenti casi:
x,y pari k!=0
x,y dispari k!=1

non riesco però a collegare questa mia tesi con quella da dimostrare nel punto 1.[/img]

[@melia]

Supponi che $k=5$, prendo una coppia con x pari e y dispari allora $f(x)=f(y) =>5x=4y$ che è verificata per $x=4$ e $y=5$
l'errore è ovviamente qui

Presa la coppia x,y appartenenti a Z, x pari e y dispari:
f(x)=f(y) -> kx=(k-1)y -> MAI

infatti $kx=(k-1)y -> k(x-y)=-y -> k(y-x)=y$ dato che y-x è sicuramente dispari in quanto x è pari e y è dispari, ne segue che $k(y-x)=y$ può essere verificata solo se k è dispari. Quando k è pari l'uguaglianza è impossibile in quanto il prodotto tra un pari e un dispari (che hai a primo membro) non può essere dispari.

[adaBTTLS1]

la richiesta è riferita alla parità di k, non di x.
d'altronde, k pari e diverso da zero comprende anche k diverso da 1, per cui, come ti chiede il primo punto, se k è pari e non nullo, esaminando i vari casi (il quarto caso che non hai scritto è analogo al terzo) puoi concludere che se f(x)=f(y) allora x=y. dunque f è iniettiva.

[*CyberCrasher]

"@melia":Supponi che $k=5$, prendo una coppia con x pari e y dispari allora $f(x)=f(y) =>5x=4y$ che è verificata per $x=4$ e $y=5$

ma scusa.. per essere iniettiva "f(x) = f(y) ciò implica x=y".. ma come dici tu f(x)=f(y) si verifica anche per x!=y (ovvero per la coppia pari\dispari) quindi non è iniettiva..

Al contrario noi dovremmo verificare che se x pari e y pari f(x) = f(y) se x=y, se x dispari e y dispari f(x)=f(y) se x=y e infine se x è pari e y è dispari (quindi sono diversi) f(x) è diverso da f(y).
Il problema è che l'ultima per me è verificata (ovvero x!=y -> f(x)!=f(y)) ma come "dominio" di iniettività a me viene qualunque valore diverso da 1 e 0 (intendo per k)

[@melia]

Ho ripreso il tuo ragionamento iniziale, nel caso in cui x e y siano entrambi pari o entrambi dispari la tua dimostrazione funziona, con le condizioni che hai posto, invece se x è pari e y dispari ti ho dimostrato con un controesempio e poi con i calcoli algebrici che la funzione è iniettiva solo se k è pari, che aggiunta alle condizioni che avevi trovato tu si traduce in "k pari e $!=0$", come richiesto dal testo.

Per dimostrare poi che la funzione non è suriettiva basta osservare che 1 appartiene all'insieme immagine solo se $k=2vvk=0$, ma in tal caso è 2 a non appartenere all'insieme immagine

[*CyberCrasher]

"@melia":Ho ripreso il tuo ragionamento iniziale, nel caso in cui x e y siano entrambi pari o entrambi dispari la tua dimostrazione funziona, con le condizioni che hai posto, invece se x è pari e y dispari ti ho dimostrato con un controesempio e poi con i calcoli algebrici che la funzione è iniettiva solo se k è pari, che aggiunta alle condizioni che avevi trovato tu si traduce in "k pari e $!=0$", come richiesto dal testo.

Per dimostrare poi che la funzione non è suriettiva basta osservare che 1 appartiene all'insieme immagine solo se $k=2vvk=0$, ma in tal caso è 2 a non appartenere all'insieme immagine

ma se x è pari e y è dispari vuol dire che x è diversa da y.. e per definizione f(x) deve essere diversa da f(y) altrimenti verrebbe meno l'iniettività.. a parte che la tua dimostrazione non la capisco affatto, ma non avrebbe senso quello che dici perchè se x!=y f(x)!=f(y) quindi ammesso e concesso che tu mi dimostrassi che per le coppie x e y (x!=y) f(x)=f(y) dimostreresti solo che non c'è iniettività e non il contrario come dici

[Alexp1]

Per "CyberCrasher", "@melia" ha ragione, il suo è un controesempio per farti vedere che se $k$ è dispari allora si perde l'iniettività....infatti ti dimostra che se anche $x$ e $y$ sono diversi ($x$ pari e $y$ dispari) si può avere comunque un risultato in cui $f(x)=f(y)$, caso possibile unicamente ammettendo $k$ dispari....

Tu (Cybercrasher) sbagliavi nel dire:
Presa la coppia $x,y$ appartenenti a $Z$, $x$ pari e $y$ dispari:
$f(x)=f(y) -> kx=(k-1)y ->$ MAI

infatti quel "MAI" è vero solo per $k$ pari e non per $k$ dispari....

[Alexp1]

Per la seconda dimostrazione (quella legata alla suriettività) "@melia" ti ha fatto un esempio di come la funzione $\phi$ non possa ammettere come immagine tutti i valori del codominio.

[*CyberCrasher]

"Alexp":Per "CyberCrasher", "@melia" ha ragione, il suo è un controesempio per farti vedere che se $k$ è dispari allora si perde l'iniettività....infatti ti dimostra che se anche $x$ e $y$ sono diversi ($x$ pari e $y$ dispari) si può avere comunque un risultato in cui $f(x)=f(y)$, caso possibile unicamente ammettendo $k$ dispari....

Tu (Cybercrasher) sbagliavi nel dire:
Presa la coppia $x,y$ appartenenti a $Z$, $x$ pari e $y$ dispari:
$f(x)=f(y) -> kx=(k-1)y ->$ MAI

infatti quel "MAI" è vero solo per $k$ pari e non per $k$ dispari....

ahhhh... chiarissimo.. avevo fatto confusione

in pratica se x, y sono una coppia pari devo verificare che f(x)=f(y) se e solo se x=y,
se x,y sono una coppia dispari devo verificare che f(x)=f(y) se e solo se x=y,
se x,y sono una coppia rispettivamente pari e dispari devo verificare la condizione: se x!=y (perchè è questa l'ipotesi stavolta) allora f(x)!=f(y) e questa è verificata nei casi in cui k è pari. Perfetto.. grazie a tutti e 2 e scusate se insisto e sono duro ma ho bisogno di capire per bene xD

Per quanto riguarda il discorso della suriettività non ho ancora letto ciò che avete detto a riguardo perchè voglio sbatterci la testa un po io.. spero di non venirvi a chiedere aiuto a riguardo xD
ciao e grazie ancora