Dimostrazione iniettività

[thedarkhero]

Dimostrare che:
f:A->B ammette inversa sinistra <=> f è iniettiva

[Lorin1]

Tu come avresti fatto?

[thedarkhero]

Io dimostrerei il SOLO SE per assurdo (e non sono sicuro che sia giusto), Per quanto riguarda il SE non ne ho idea.

[Iciez]

Devi dimostrare la doppia implicazione.
(=>) se f ammette inversa sinistra significa che esiste una g tale che g°f=Identita' di A.
E' chiaro che questa funzione composta e' biettiva quindi iniettiva. Per la proprieta' delle funzione
composte f e' anch'essa iniettiva.
(<=) ti basta costruire una tale funzione g. La puoi costruire in questo modo: g: B -> A,
g(b)=a , se b appartiene all'imagine di f (a e' unico per l'iniettivita' di f). g(b) = z se b non appartiene all im(f).
(z e' un qualunche elemento fissato di A). Questa applicazione composta a f e' effettivamente g°f = Id(A). Fine dimostrazione.