Dimostrazione infinità numeri primi con l'azione d'un gruppo

[Dorian1]

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Supponiamo, per assurdo, che esistano $n in NN$ \ ${0,1}$ numeri primi. Indicizziamoli in ordine crescente e chiamiamo $P$ l'insieme da loro formato, cioè:

$P:={p_1, p_2, ... , p_n}$

Definiamo su $P$ la seguente [url=http://http://it.wikipedia.org/wiki/Azione_di_gruppo]azione[/url]:

$@$ : $P x ZZ_(n+1) -> P$

$(p_j @ [a]_(n+1)) := p_([j + a]_n)$

(con $_k$ denoto la classe di $b in Z$ modulo $k$)

si vede subito che $@$ è transitiva, cioè induce su $P$ un'unica orbita $O(x)$ e che, preso comunque un $m in {1,2,...,n}$ , si ha che $p_m = p_([m+0]_n) = p_([m+n]_n)$, cioè che lo stabilizzatore $S_m$ di $p_m$ consta di due elementi, $[0]_(n+1)$ e $[n]_(n+1)$. Dalla relazione:

$Card(P)*|S_m|=|Z_(n+1)|$ si ricava che $n * 2 = n+1$. Assurdo.

Pertanto i primi sono infiniti.

[alvinlee881]

Claim: i numeri naturali positivi minori di $10$ sono infiniti.
dim:

Supponiamo, per assurdo, che esistano $n in NN$ \ ${0,1}$ numeri naturali positivi minori di $10$.

"Dorian":

Indicizziamoli in ordine crescente e chiamiamo $P$ l'insieme da loro formato, cioè:

$P:={p_1, p_2, ... , p_n}$

Definiamo su $P$ la seguente [url=http://http://it.wikipedia.org/wiki/Azione_di_gruppo]azione[/url]:

$@$ : $P x ZZ_(n+1) -> P$

$(p_j @ [a]_(n+1)) := p_([j + a]_n)$

(con $_k$ denoto la classe di $b in Z$ modulo $k$)

si vede subito che $@$ è transitiva, cioè induce su $P$ un'unica orbita $O(x)$ e che, preso comunque un $m in {1,2,...,n}$ , si ha che $p_m = p_([m+0]_n) = p_([m+n]_n)$, cioè che lo stabilizzatore $S_m$ di $p_m$ consta di due elementi, $[0]_(n+1)$ e $[n]_(n+1)$. Dalla relazione:

$Card(P)*|S_m|=|Z_(n+1)|$ si ricava che $n * 2 = n+1$. Assurdo.

Pertanto i numeri naturali positivi minori di $10$ sono infiniti (i casi $n=0,1$ si possono escludere a mano )
Bonus question: cosa c'è che non va?

[Martino]

In effetti non si usa nessuna proprieta' esplicita dei numeri primi.

"Dorian":$(p_j @ [a]_(n+1)) := p_([j + a]_n)$

Siamo sicuri che questa azione sia ben definita? Mentre $0$ agisce in modo banale, $n+1$ (che e' nella stessa classe di $0$) trasla avanti di $1$.

[alvinlee881]

Esatto Martino, ma forse era meglio se provava ad accorgersi da solo dell'errore...

[Martino]

"alvinlee88":Esatto Martino, ma forse era meglio se provava ad accorgersi da solo dell'errore...

Sì forse hai ragione, è che non mi sembrava di dover assumere un atteggiamento didattico.. conoscendo un po' Dorian sul forum, dico.