Dimostrazione induzione

[maverick870]

Innanzitutto un buongiorno a tutti. Allora il mio problema è in un passaggio finale di un esempio di un libro, so che probabilmente è una cosa banale ma mi sfugge che cosa diavolo fa!
Allora devo dimostrare tramite induzione che
$3^(2n)-2^n$ è un multiplo di 7
Fin qui capisco che per essere un multiplo di sette basta che sia uguale a 7q dove q è un numero naturale qualsiasi.
Ora vi scrivo il procedimento che fa il testo(tralasciando il primo passo dell'induzione, cioè con n=1):
$3^(2n)-2^n=7q$
Con q intero, quindi esaminiamo se è vera per n+1
$3^(2(n+1))-2^(n+1)=7q$=
$9*3^(2n)-2*2^n=7q $
Fin qui non fa nulla di speciale non fa altro che "dividere" le potenze e elevare a potenza i numeri senza n che ho
Poi sfruttando l'eguaglianza iniziale cambia il $3^(2n)$
Siccome: $3^(2n)=2^n+7q$
Tutto diventa(lo scrivo pari pari come è scritto sul libro: $3^(2(n+1))-2^(n+1)=9(2^n+7q)-2*2^n=$ Da questo uguale al successivo non capisco cosa succede $=7(2^n+9q)$
So che probabilmente è una banalità quindi prendetemi poco in giro, ma non riesco a vederla

E grazie in anticipo!

[6KIRA6]

Come fai a non capire, ha solo svolto i conti nell'ultima uguaglianza che hai scritto, ovvero:
$ 9(2^n+7q)- 2\cdot 2^n= 9\cdot 2^n+9\cdot 7\cdot q-2\cdot 2^n=7\cdot 2^n+9\cdot 7\cdot q=7(2^n+9q) $
Comunque credo che tu abbia copiato male, dato che la $q$ nel caso $n$ e nel caso $n+1$ dovrebbero essere diverse. Questo non invalida però l'uguaglianza che ti ho spiegato dato che non c'è problema di ambiguità in questo caso.

[milizia96]

@ 6KIRA6
E' tutto giusto, infatti la nuova $q$ non è uguale a quella di prima ma è uguale a $2^n+9q$