Dimostrazione implicazione
Sto provando a dimostrare la seguente implicazione:
posto $p$ uguale a $4|n$ e $q$ uguale a $8|n^2$ con $n in ZZ$
Teorema: se un intero $n$ e' divisibile per $4$ allora il suo quadrato $n^2$ e' divisibile per $8$.
Dimostrazione: sia $n$ un generico intero $n in ZZ$, esiste allora un intero $k in ZZ$ tale che $n=4k$, cioe' un multiplo di $4$;
se il quadrato di $n$ e' divisivile per $8$ allora possiamo scrivere $8|(4k)^2$, quindi esistera' un intero $t in ZZ$ tale che
$(4k)^2 = 8t$ e $16k^2 = 8t$ , $t=2k^2$ da cui la tesi.
In effetti provando un po' di valori ottengo sempre un intero, ma non sono affatto sicuro che il ragionamento sia corretto....
Sto sbagliando? Se si dove?
Grazie
posto $p$ uguale a $4|n$ e $q$ uguale a $8|n^2$ con $n in ZZ$
Teorema: se un intero $n$ e' divisibile per $4$ allora il suo quadrato $n^2$ e' divisibile per $8$.
Dimostrazione: sia $n$ un generico intero $n in ZZ$, esiste allora un intero $k in ZZ$ tale che $n=4k$, cioe' un multiplo di $4$;
se il quadrato di $n$ e' divisivile per $8$ allora possiamo scrivere $8|(4k)^2$, quindi esistera' un intero $t in ZZ$ tale che
$(4k)^2 = 8t$ e $16k^2 = 8t$ , $t=2k^2$ da cui la tesi.
In effetti provando un po' di valori ottengo sempre un intero, ma non sono affatto sicuro che il ragionamento sia corretto....
Sto sbagliando? Se si dove?
Grazie
Risposte
Il ragionamento scritto così è sbagliato: ad un certo punto assumi la tesi.
Il risultato però è giusto ed è estremamente banale: se [tex]4 \mid n[/tex] allora [tex]n = 4m[/tex] da cui [tex]n^2 = 16m^2 = 8 (2m^2)[/tex] e per definizione [tex]8 \mid n^2[/tex].
Il risultato però è giusto ed è estremamente banale: se [tex]4 \mid n[/tex] allora [tex]n = 4m[/tex] da cui [tex]n^2 = 16m^2 = 8 (2m^2)[/tex] e per definizione [tex]8 \mid n^2[/tex].
Si, il problema e' proprio nel ragionamento. Quindi era sufficiente che non indicassi quel "se il quadrato di 8 e' divisivile per 8....." ??
Uff.. mi trovo sempre in difficolta' nelle dimostrazioni!!
Uff.. mi trovo sempre in difficolta' nelle dimostrazioni!!
Sì, e poi hai scritto: "sia $n$ un generico intero, allora [...] $n = 4k$". Questo è sbagliato! Avresti dovuto dire: "sia $n$ un multiplo di $4$..."
Per fare dimostrazioni corrette, rileggi quello che scrivi e sii onesto con te stesso. Chiediti, per ogni affermazione che fai: sono assolutamente certo di saper dimostrare in maniera formale questo fatto?
Per fare dimostrazioni corrette, rileggi quello che scrivi e sii onesto con te stesso. Chiediti, per ogni affermazione che fai: sono assolutamente certo di saper dimostrare in maniera formale questo fatto?
Ho capito (forse...).
Quindi la dimostrazione poteva essere formalizzata in questo modo:
sia $n in ZZ$ un multiplo di $4$, allora $n=4k$ e $n^2=(4k)^2=16k^2=8*2k^2$
da cui la tesi $8|n^2$.
Quindi la dimostrazione poteva essere formalizzata in questo modo:
sia $n in ZZ$ un multiplo di $4$, allora $n=4k$ e $n^2=(4k)^2=16k^2=8*2k^2$
da cui la tesi $8|n^2$.
Già... molto più lineare e semplice, non trovi?
Si molto piu' semplice e chiaro.
In questo periodo sto provando a studiare le dimostrazioni ma mi trovo spesso in difficolta'. Per caso c'e' qualche testo specifico che dia delle linee guida, oppure dipende dalla dimostrazione stessa e quindi non c'e' mai una "strada" prestabilita?
In questo periodo sto provando a studiare le dimostrazioni ma mi trovo spesso in difficolta'. Per caso c'e' qualche testo specifico che dia delle linee guida, oppure dipende dalla dimostrazione stessa e quindi non c'e' mai una "strada" prestabilita?
No, ogni dimostrazione è una storia a parte, spesso interessantissima! E' una delle abilità fondamentali di un matematico una buona capacità di analisi e la capacità di elaborare dimostrazioni rigorose. Non si può certo ridurre tutto questo ad alcuni passaggi standard!
Capisco, grazie per l'aiuto 
Cosa indica la notazione $|$?
Divisibilità: [tex]a \mid b[/tex] significa [tex]a[/tex] divide [tex]b[/tex].
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