Dimostrazione formula TdN
Buongiorno a tutti.
Potreste gentilmente spiegarmi come si arriva alla formula seguente? Esiste una dimostrazione? Perdonatemi, sarà anche stupida ma da solo non ci arrivo e non riesco a trovarla sul web.
$ab=\MCD(a,b)\*\mcm(a,b)$ con $a$ e $b$ non nulli.
Grazie in anticipo (per l'aiuto e la pazienza).
Paolo
Potreste gentilmente spiegarmi come si arriva alla formula seguente? Esiste una dimostrazione? Perdonatemi, sarà anche stupida ma da solo non ci arrivo e non riesco a trovarla sul web.
$ab=\MCD(a,b)\*\mcm(a,b)$ con $a$ e $b$ non nulli.
Grazie in anticipo (per l'aiuto e la pazienza).
Paolo
Risposte
Ciao!
Se scrivi le fattorizzazioni in primi $a=\prod_{i=1}^n p_i^{a_i}$ e $b=\prod_{i=1}^n p_i^{b_i}$ (dove i $a_i$, $b_i$ possono anche essere nulli!) allora hai
$MCD(a,b) = \prod_{i=1}^n p_i^{min(a_i,b_i)}$, $mcm(a,b) = \prod_{i=1}^n p_i^{max(a_i,b_i)}$
Quindi osservando che $min(a_i,b_i)+max(a_i,b_i)=a_i+b_i$ hai che:
$MCD(a,b) * mcm(a,b) = \prod_{i=1}^n p_i^{min(a_i,b_i)} p_i^{max(a_i,b_i)} = \prod_{i=1}^n p_i^{min(a_i,b_i)+max(a_i,b_i)} = \prod_{i=1}^n p_i^{a_i+b_i} = \prod_{i=1}^n p_i^{a_i} p_i^{b_i} = ab$.
Qui $n$ rappresenta il numero di primi che compaiono nella fattorizzazione di $a$ e di $b$ complessivamente. Per esempio se $a=60$ e $b=70$ allora hai $n=4$ e $a=2^2*3^1*5^1*7^0$, $b=2^1*3^0*5^1*7^1$, etc.
Se scrivi le fattorizzazioni in primi $a=\prod_{i=1}^n p_i^{a_i}$ e $b=\prod_{i=1}^n p_i^{b_i}$ (dove i $a_i$, $b_i$ possono anche essere nulli!) allora hai
$MCD(a,b) = \prod_{i=1}^n p_i^{min(a_i,b_i)}$, $mcm(a,b) = \prod_{i=1}^n p_i^{max(a_i,b_i)}$
Quindi osservando che $min(a_i,b_i)+max(a_i,b_i)=a_i+b_i$ hai che:
$MCD(a,b) * mcm(a,b) = \prod_{i=1}^n p_i^{min(a_i,b_i)} p_i^{max(a_i,b_i)} = \prod_{i=1}^n p_i^{min(a_i,b_i)+max(a_i,b_i)} = \prod_{i=1}^n p_i^{a_i+b_i} = \prod_{i=1}^n p_i^{a_i} p_i^{b_i} = ab$.
Qui $n$ rappresenta il numero di primi che compaiono nella fattorizzazione di $a$ e di $b$ complessivamente. Per esempio se $a=60$ e $b=70$ allora hai $n=4$ e $a=2^2*3^1*5^1*7^0$, $b=2^1*3^0*5^1*7^1$, etc.
Ciao Martino. Anzitutto grazie mille per la tua risposta. Sì, ho capito la tua dimostrazione. Non avevo ancora letto la parte riguardante la fatorizzazione in primi sulle dispense su cui sto studiando TdN (chissà perchè ma prima parla di mcm e MCD con l'algoritmo di Euclide e soltanto dopo di fattorizzazione in primi).
Grazie ancora per il tuo aiuto.
A presto, Paolo.
Grazie ancora per il tuo aiuto.
A presto, Paolo.
$a = MCD(a,b)a'$ (il $MCD(a,b)$ è un divisore di $a$, questo deriva dalla definizione di divisore)
$b = MCD(a,b)b'$ (il $MCD(a,b)$ è un divisore di $b$)
$mcm(a, b) = MCD(a,b)a'b'$ (si prende $a$, si moltiplica per $b'$ e si nota che è un multiplo anche di $b$; dopo di che si nota che un multiplo di entrambi deve per forza essere divisibile per $MCD(a,b)$, $a'$ e $b'$)
$ab = MCD(a,b)a'MCD(a,b)b' = MCD(a,b)MCD(a,b)a'b'$
$b = MCD(a,b)b'$ (il $MCD(a,b)$ è un divisore di $b$)
$mcm(a, b) = MCD(a,b)a'b'$ (si prende $a$, si moltiplica per $b'$ e si nota che è un multiplo anche di $b$; dopo di che si nota che un multiplo di entrambi deve per forza essere divisibile per $MCD(a,b)$, $a'$ e $b'$)
$ab = MCD(a,b)a'MCD(a,b)b' = MCD(a,b)MCD(a,b)a'b'$
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