Dimostrazione formula

[marcus1121]

Esiste una dimostrazione della formula:

per ciascun numero intero $>=$ 1 la somma dei primi n interi positivi è uguale a:

$(n(n+1))/2$

Il principio di induzione non spiega assolutamente perchè quello che vogliamo dimostrare è vero.


grazie

[Alexp1]

Ciao,
una dimostrazione possibile è la seguente:

prendiamo $n$ numeri a piacere ad esempio dall'$1$ al $10$ e scriviamoli nel seguente modo

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$
$10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$

la somma di ciascuna colonna sarà sempre $11$.

Quindi avrò $11$ per $10$ colonne, ossia $(n+1)n$.

Il risultato ottenuto equivale a $(11+11+11+11+11+11+11+11+11+11)$ che è uguale a
$(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)$ che può anche essere riscirtto come
$(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)$ ossia $2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)$.

dunque avendo che $n(n+1)=2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)$, si ha $(n(n+1))/2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)$

Ovviamente poi questo è generalizzabile per qualsiasi valore di $n$.

[Andreuzzu]

"Alexp":Ciao,
una dimostrazione possibile è la seguente:

prendiamo $n$ numeri a piacere ad esempio dall'$1$ al $10$ e scriviamoli nel seguente modo

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$
$10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1$

la somma di ciascuna colonna sarà sempre $11$.

Quindi avrò $11$ per $10$ colonne, ossia $(n+1)n$.

Il risultato ottenuto equivale a $(11+11+11+11+11+11+11+11+11+11)$ che è uguale a
$(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)+(6+5)+(7+4)+(8+3)+(9+2)+(10+1)$ che può anche essere riscirtto come
$(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)$ ossia $2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)$.

dunque avendo che $n(n+1)=2(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)$, si ha $(n(n+1))/2=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)$

Ovviamente poi questo è generalizzabile per qualsiasi valore di $n$.

In pratica quello che usò Gauss per fare la somma da 1 a 100 ^_^

[robbstark1]

L'idea da cui è scaturita la formula è di questo tipo:
Sia $n$ pari. Allora posso considerare le coppie $(1,n)$, $(2, n-1)$, $(3, n-2)$, ..., $(n/2, n/2 +1)$. La somma dei termini di ciascuna coppia è $n+1$, le coppie sono $n/2$, quindi la somma di tutti i numeri è $(n+1)*(n/2)$.
Sia $n$ dispari. Considero le coppie $(1,n)$, $(2, n-1)$, $(3, n-2)$, ..., $((n-1)/2, (n+3)/2)$. Resta un termine spaiato $(n+1)/2$. La somma di tutti i numeri è allora $(n-1)/2 *(n+1) + (n+1)/2 = (n+1)/2 *n$
Non capisco però cosa hai contro il principio di induzione.

P.s.: non mi ero accorto che c'era già una risposta

[cirasa]

"marcus112":Esiste una dimostrazione della formula:

per ciascun numero intero $>=$ 1 la somma dei primi n interi positivi è uguale a:

$(n(n+1))/2$

Il principio di induzione non spiega assolutamente perchè quello che vogliamo dimostrare è vero.


grazie

In realtà si può dimostrare anche con il principio di induzione. La dimostrazione si può trovare facilmente in rete...

[marcus1121]

Mi potresti indicare un sito dove trovare una dimostrazione per induzione o per assurdo della formula citata.
Se puoi mi faresti vedere tu direttamente la dimostrazione ancora meglio..

grazie sempre

[Andreuzzu]

"marcus112":Mi potresti indicare un sito dove trovare una dimostrazione per induzione o per assurdo della formula citata.
Se puoi mi faresti vedere tu direttamente la dimostrazione ancora meglio..

grazie sempre

Dimostrata per induzione è così:

Partiamo dalla considerazione che:

$0+1+2+..+n=(n(n+1))/2$

Per $n=0$ l'uguaglianza diventa $0=0$ quindi è vera

Ora passiamo al passo induttivo cioè $n\Rightarrow (n+1)$

Quindi la nostra ipotesi sarà: $0+1+2+..+n=(n(n+1))/2$
E la tesi che dobbiamo dimostrare sarà: $0+1+2+..+n+(n+1)=((n+1)(n+2))/2$

Per dimostrare la tesi abbiamo:
$0+1+2+..+n+(n+1)=(n(n+1))/2+(n+1)=(n^2+3n+2)/2=((n+1)(n+2))/2$

Dopo aver costruito questa catena di uguaglianze notiamo che il 1 termine è uguale all'ultimo che a sua volta era la tesi che volevamo dimostrare