Dimostrazione estremo inferiore con sezioni di dedekind
Ciao a tutti!!
Il professore di algebra ci ha dato come esercizio di dimostrare come dato un insieme $X$ di sezioni di dedekind inferiormente limitato, la loro intersezione è l'estremo inferiore. Penso di aver svolto l'esercizio ma mi piacerebbe avere dei chiarimenti/correzioni.
Allora Comincio con il dimostrare che $nn x$ è una sezione di Dedekind.
1)$nnx sub Q$ perchè intersezione di sottoinsiemi di $Q$
2)$nnx != Q$ perchè $nnx sub x, AA x in X$ dove $x sub Q$
3)$nnx$ non è vuota. Infatti usando l'ordinamento totale(già introdotto) osservo come $x1 sub x2 sub x3..sub xn$ ( Non mi convince molto, forse dovrei esprimermi meglio)
4) se $r in nnx$ allora $r'
Allora posso affermare che $nnx sub x$ perchè è contenuta in ogni sezione,quindi $nnx <= x$.
Se considero $d
Il ragionamento è corretto? SIcuramente c'è qualcosa da sistemare e sarei veramente grato se mi aiutaste!!
Il professore di algebra ci ha dato come esercizio di dimostrare come dato un insieme $X$ di sezioni di dedekind inferiormente limitato, la loro intersezione è l'estremo inferiore. Penso di aver svolto l'esercizio ma mi piacerebbe avere dei chiarimenti/correzioni.
Allora Comincio con il dimostrare che $nn x$ è una sezione di Dedekind.
1)$nnx sub Q$ perchè intersezione di sottoinsiemi di $Q$
2)$nnx != Q$ perchè $nnx sub x, AA x in X$ dove $x sub Q$
3)$nnx$ non è vuota. Infatti usando l'ordinamento totale(già introdotto) osservo come $x1 sub x2 sub x3..sub xn$ ( Non mi convince molto, forse dovrei esprimermi meglio)
4) se $r in nnx$ allora $r'
Allora posso affermare che $nnx sub x$ perchè è contenuta in ogni sezione,quindi $nnx <= x$.
Se considero $d
Il ragionamento è corretto? SIcuramente c'è qualcosa da sistemare e sarei veramente grato se mi aiutaste!!
Risposte
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Sembra quasi tutto giusto; solo la parte 3 è da rifare, tenendo presente che, se \(m\) è un(a sezione) minorante di \(X\), allora \(m\subseteq \cap x\).
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