Dimostrazione esistenza estremo superiore in un reticolo
Ciao a tutti,
sto tentando di destreggiarmi nella comprensione della dimostrazione dell'esistenza dell'estremo superiore nel reticolo $ (R,vv ,^^ ) $ con relazione d'ordine$ <= $.
Vi riporto quello che c'è scritto sul mio libro:
$ AA a,b in R $
1) $ a <= avv b $ infatti $ a ^^ (avv b) $
2) $ b <= avv b $ infatti $ b^^ (avv b)=b^^ (bvv a)=b $
3) sia ora $ cin R $ tale che $ a<= c $ e $ b<= c $. Da $ a^^ c= a $ e $ b^^ c=b $ segue $ avv c=c $ e $ bvv c=c $ e quindi $ (avv b)vv c=avv (bvv c)=avv c=c $ , da ciò $ avv b<= c $.
Non mi è chiaro l'ultimo passaggio, perché si può concludere che $ avv b<= c $ dopo quella sequenza di equazioni concatenate.
Grazie in anticipo
sto tentando di destreggiarmi nella comprensione della dimostrazione dell'esistenza dell'estremo superiore nel reticolo $ (R,vv ,^^ ) $ con relazione d'ordine$ <= $.
Vi riporto quello che c'è scritto sul mio libro:
$ AA a,b in R $
1) $ a <= avv b $ infatti $ a ^^ (avv b) $
2) $ b <= avv b $ infatti $ b^^ (avv b)=b^^ (bvv a)=b $
3) sia ora $ cin R $ tale che $ a<= c $ e $ b<= c $. Da $ a^^ c= a $ e $ b^^ c=b $ segue $ avv c=c $ e $ bvv c=c $ e quindi $ (avv b)vv c=avv (bvv c)=avv c=c $ , da ciò $ avv b<= c $.
Non mi è chiaro l'ultimo passaggio, perché si può concludere che $ avv b<= c $ dopo quella sequenza di equazioni concatenate.
Grazie in anticipo
Risposte
Semplicemente perché, per definizione, in un reticolo le due operazioni sono collegate con la relazione d'ordine da \(\displaystyle x \leq y \Leftrightarrow x \lor y = y \Leftrightarrow x \land y = x \). Basta pensare un attimo alla definizione di sup ed inf per convincersi di questo.
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