Dimostrazione esistenza di infiniti numeri primi
Salve,
devo dimostrare l'esistenza di infiniti numeri primi, e devo farlo per assurdo, o meglio ho una dimostrazione che lo fa per assurdo ma mi blocco in un passaggio chiave, benchè ho fatto anche alcune ricerche su internet.
Dunque, dice, se per assurdo abbiamo un numero finito di numeri primi allora essi saranno $P_1,P_2,..,P_r$;
Per cui dobbiamo prendere un $a=P_1*P_2*...*P_r+1$ per arrivare appunto "all'eccezione". Però non capisco i passaggi che fa.
Da quel che ho capito io, correggetemi se sbaglio, $P_r$, ovvero, un qualsiasi numero primo dell'insieme finito sopra indicato, dovrebbe andare a dividere il nostro $a$, ma ci accorgiamo che nessuno dei nostri numeri primi lo divide, e quindi abbiamo trovato "l'eccezione" ovvero esisteranno sicuramente altri numeri primi oltre a quelli elecanti?
Perchè sul quaderno porta due passaggi che non mi tornano ovvero dice che:
$EE p in ZZ t.c P|a$ e questo dovrebbe derivare dal teorema fondamentale dell'artimetica
poi dice per cui $EE i in 1,2,...r$ t.c $P_i=P_r$
e dice quindi $P_r|a$ ma $P_i|P_1,P_2,..,P_r$ quindi non dividera $a$.
Cioè mi sembrano tutti passaggi "in surplus" o sbaglio? non posso abbreviare come ho detto io sopra? anche perchè questi passaggi non mi sono nemmeno chiari eppure dovrebbe essere una cosa "così semplice"..
devo dimostrare l'esistenza di infiniti numeri primi, e devo farlo per assurdo, o meglio ho una dimostrazione che lo fa per assurdo ma mi blocco in un passaggio chiave, benchè ho fatto anche alcune ricerche su internet.
Dunque, dice, se per assurdo abbiamo un numero finito di numeri primi allora essi saranno $P_1,P_2,..,P_r$;
Per cui dobbiamo prendere un $a=P_1*P_2*...*P_r+1$ per arrivare appunto "all'eccezione". Però non capisco i passaggi che fa.
Da quel che ho capito io, correggetemi se sbaglio, $P_r$, ovvero, un qualsiasi numero primo dell'insieme finito sopra indicato, dovrebbe andare a dividere il nostro $a$, ma ci accorgiamo che nessuno dei nostri numeri primi lo divide, e quindi abbiamo trovato "l'eccezione" ovvero esisteranno sicuramente altri numeri primi oltre a quelli elecanti?
Perchè sul quaderno porta due passaggi che non mi tornano ovvero dice che:
$EE p in ZZ t.c P|a$ e questo dovrebbe derivare dal teorema fondamentale dell'artimetica
poi dice per cui $EE i in 1,2,...r$ t.c $P_i=P_r$
e dice quindi $P_r|a$ ma $P_i|P_1,P_2,..,P_r$ quindi non dividera $a$.
Cioè mi sembrano tutti passaggi "in surplus" o sbaglio? non posso abbreviare come ho detto io sopra? anche perchè questi passaggi non mi sono nemmeno chiari eppure dovrebbe essere una cosa "così semplice"..
Risposte
A me sembra che dica semplicemente quello che già dici tu: se i numeri primi sono finiti [tex]p_{1}, \ldots, p_{n}[/tex], allora preso [tex]a=p_{1}\cdots p_{n} + 1 \in \mathbb{Z}[/tex] per il TFA esiste una fattorizzazione in primi di [tex]a[/tex], i.e. uno dei primi sopra citati divide [tex]a[/tex], il che è impossibile data la presenza dell'unità.
Ah, praticamente quella $i$ è soltanto un'altro indice che in realtà varia tale e quale a $r$ ? Non poteva direttamente dire che $P_r$ non divideva $a$ ?
Ovvero non posso dimostrare tutto in pochi semplice passi ovvero:
1) Per assurdo diciamo che i numeri primi sono in numero finito, ovvero $P_1...P_r$
2) Prendiamo $a=P_1*...*P_r+1$
3) Avendo aggiunto l'unita, abbiamo che $P_r$ non divide $a$, (e qui immagino si sottointende per un generico $P$ del nostro insieme finito), quindi deve a forza esistere un'altro numero primo, e quindi ancora abbimo dimostrato che i numeri primi sono infiniti.
Che ne dici? Giusto il punto 3) magari andrebbe detto un pò meglio o no? Perchè a me non viene per nulla spontaneo piazzare un'altro indice $i$.. devo trovare una maniera "mia" dirla.
Ovvero non posso dimostrare tutto in pochi semplice passi ovvero:
1) Per assurdo diciamo che i numeri primi sono in numero finito, ovvero $P_1...P_r$
2) Prendiamo $a=P_1*...*P_r+1$
3) Avendo aggiunto l'unita, abbiamo che $P_r$ non divide $a$, (e qui immagino si sottointende per un generico $P$ del nostro insieme finito), quindi deve a forza esistere un'altro numero primo, e quindi ancora abbimo dimostrato che i numeri primi sono infiniti.
Che ne dici? Giusto il punto 3) magari andrebbe detto un pò meglio o no? Perchè a me non viene per nulla spontaneo piazzare un'altro indice $i$.. devo trovare una maniera "mia" dirla.
Non solo [tex]p_{r}[/tex] non divide [tex]a[/tex], ma memmeno [tex]p_{1},p_{2},\ldots,p_{r-1}[/tex].
Ma quindi quell'indice $i$ dovrebbe significare $P_i$ per $i$ che varia da $1$ a $r$ ?
Perchè soffermiamcoi su questa riga, dice:
$EE i in 1,2,..r$ t.c $P_i = P_r$
Cioè scritta cosi non ha senso ai miei occhi, credo che si voglia dire, in qualche modo, come hai detto tu, e come sto annettendo io che $i$ è un indice che varia. Ma è questo che significa tale proposizione o no?
Perchè soffermiamcoi su questa riga, dice:
$EE i in 1,2,..r$ t.c $P_i = P_r$
Cioè scritta cosi non ha senso ai miei occhi, credo che si voglia dire, in qualche modo, come hai detto tu, e come sto annettendo io che $i$ è un indice che varia. Ma è questo che significa tale proposizione o no?
La riga è sbagliata. O per lo meno è inutile.
E quindi, se quella riga è sbagliata, come faccio a formalizzarla nella maniera giusta?
Ma guarda che stai preparando un esame di Algebra non uno di logica...
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