Dimostrazione Elemento Regolare

[Kennerd]

Salve. E' da un po' che ci sbatto la testa e francamente non riesco a venirne fuori. Dovrei provare che per ogni insieme $ A $ , l'unico elemento regolare (detto anche elemento cancellabile) in \( (\mathscr{P}(A),\cup ) \) è l'insieme \( \varnothing \)
Avreste consigli su come procedere? Ho già tentato la strada secondo cui un elemento, se è simmetrizzabile, allora è cancellabile. E' vero che il vuoto in questa struttura risulta essere l'unico simmetrizzabile, ma qui secondo me serve poco a nulla per dimostrare che il vuoto è l'unico elemento cancellabile poiché in generale non è detto che se un elemento è cancellabile questo risulti simmetrizzabile (a meno che non ci si trovi con un insieme sostegno finito). Avevo pensato alla condizione di inclusione tra insiemi ma non ne sono sicuro.

[killing_buddha]

il vuoto è cancellabile. Per il viceversa, se $X$ è cancellabile, $A=X\cup X^c=X\cup A$, da ciò $X^c=A$, quindi $X=A^c=\emptyset$.

[Kennerd]

"killing_buddha":il vuoto è cancellabile. Per il viceversa, se $X$ è cancellabile, $A=X\cup X^c=X\cup A$, da ciò $X^c=A$, quindi $X=A^c=\emptyset$.

Ciao. Ti ringrazio per la risposta. Ero partito nel dimostrare per assurdo che oltre al \( \varnothing \) ci fosse un altro elemento cancellabile \( X \) ma mi era proprio sfuggito di mente la considerazione da te fatta sul complementare di A. A questo punto penso che si possa generalizzare anche a tutte le parti di \( A \) , non solo A stesso, cioè se continuo la mia supposizione per assurdo ho che:
\( (\forall B \in \mathscr{P}(A))(X\cup (B\setminus X)=X\cup B\Rightarrow B\setminus X=B)\Rightarrow X=\varnothing \)
Giungendo alla contraddizione e trovando che effettivamente l'unico elemento cancellabile è il \( \varnothing \)