Dimostrazione elementare di $pi$

[dan952]

Ho trovato girovagando in internet questa elementare dimostrazione dell'irrazionalità di $ pi $ di un certo James Constant. http://www.coolissues.com/mathematics/Pi/pi.htm
Consideriamo la serie di Leibniz:
$ pi /4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+....=sum_(n =0) ^(+oo )(-1)^n/(2n+1) $
ora riscriviamola come segue
$ pi/4=S_k+R_k $ dove $ S_k=sum_(n=0)^(k)(-1)^n/(2n+1) $ e $ R_k=sum_(n=k+1)^(+oo)(-1)^n/(2n+1) $
Poiché si tratta di una serie i cui termini sono definitamente positivi, decrescenti e si ha che $ lim_(x -> +oo) 1/(2n+1)=0 $ allora per il criterio di Leibniz abbiamo che:
$|S_k-pi/4|<=1/(2k+1) $ ovvero $ |R_k|<=1/(2k+1) AAk $ (1)
Ecco il punto centrale che ci porterà ad un assurdo se supponiamo che $ R_k!=0\ AAk $ e quindi $ 0<|R_k|<=1/(2k+1) $ ( Ciò non viene dimostrato da Constant e questo mi ha fatto sorgere dei dubbi sulla dimostrazione). Infatti se $ pi/4=p/q $ con $p,qinbbZ_+ $ e supposto $S_k=p_k/q_k$ con $p_k,q_kinbbZ_+$$AAk$ si ha dalla (1) e dall'ipotesi $ R_k!=0\ AAk $ che: $0<|p_k/q_k-p/q|<=1/(2k+1) $ moltiplichiamo per $ qq_k $ ottenendo così:
$0<|p_kq-pq_k|<=(qq_k)/(2k+1)$
per $k$ sufficientemente grande l'ultimo termine diventa $<1$ (notare che $q_k$ cresce insieme a $k$ altro motivo che mi ha fatto dubitare) quindi avremo un intero compreso tra $0$ e $1$ che è assurdo.

[j18eos]

Non sto molto bene adesso, ma il tuo primo dubbio è molto semplice: suppongo che sia \(\forall k\geq0,\,|R_k|>0\), ovvero è un'ipotesi di lavoro che ti dovrebbe ccondurre a un assurdo; non è da dimostrare, tra l'altro quel resto è \(0\) per i teoremi di Leibniz stesso e dei carabinieri... ma a che serve?!

Secondo dubbio, e qui mi frego ma non è \(\lim_kq_k=q\) sicché l'asserto?