Dimostrazione disequazione

[franzu1]

Ciao mi sono imbattuto leggendo un libro in questa disequazione
\(\displaystyle -1\leq ab+ad+bc-cd-a-b\leq 0\)
dove a,b,c,d sono 4 numeri compresi tra 0 e 1. l'autore afferma che è verificata per ogni a,b,c,d di questo tipo ma non lo dimostra ho provato a scervellarmi su come si facesse ma non ho cavato un ragno dal buco...
c'è qualcuno che gentilmente mi spieghi come si afferma che nelle condizioni poste la disequazione è sempre verificata? grazie

[totissimus]

Poniamo\( f = ab+ad+bc-cd-a-b\).
Consideriamo \( f\) funzione di \( d \) e scriviamo:
\( f(d)= (a-c)d+ab+bc-a-b=(a-c)d-a(1-b)-b(1-c)\)
La funzione \( f(d) \) è una funzione lineare di \(d\) la cui ordinata all'origina \( -a(1-b)-b(1-c)\) è negativa per le condizioni poste sui numeri \( a,b,c,d\).
Ecco il grafico di \( f(d):\)
[asvg]axes(); // visualizza gli assi
plot("2x-3.3");
plot("-2x-3.3");
text([2,-2],"a>c");
text([-2,-2],"a text([1.85,-0.4],"x0");
text([1,0.3],"1");[/asvg]
Vediamo dunque che per \( a\leq c\) risulta \( f \leq 0\), mentre per \( a \geq c\) occorre verificare che \( x_0 \geq 1\):
\( x_0=\frac{a(1-b)+b(1-c)}{a-c}=\frac{a-ab+a-bc}{a-c}=\frac{b(1-a)+a-bc}{a-c}\geq \frac{c(b-1)+a-bc}{a-c}=1\).
Dunque è provata la disuguaglianza \( f \leq 0\).
Per provare che \( f \geq -1\) basta provare che \(a(1-b)+b(1-c) \leq 1\):
\( a(1-b)+b(1-c) \leq (1-b)+b(1-c)=1-b+b-bc=1-bc \leq 1\).
La disuguaglianza è provata.